Question

12．如圖所示是一皮帶傳輸裝載機(jī)械示意圖．井下挖掘工將礦物無(wú)初速放置于沿圖示方向運(yùn)行的傳送帶A端，被傳輸?shù)侥┒薆處，再沿一段圓形軌道到達(dá)軌道的最高點(diǎn)C處，然后水平拋到貨臺(tái)上．已知半徑為R=0.4m的圓形軌道與傳送帶在B點(diǎn)相切，O點(diǎn)為半圓的圓心，BO、CO分別為圓形軌道的半徑，礦物m可視為質(zhì)點(diǎn)，傳送帶與水平面間的夾角θ=37°，礦物與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.8，傳送帶勻速運(yùn)行的速度為v₀=8m/s，傳送帶AB點(diǎn)間的長(zhǎng)度為s_AB=45m．若礦物落點(diǎn)D處離最高點(diǎn)C點(diǎn)的水平距離為s_CD=2m，豎直距離為h_CD=1.25m，礦物質(zhì)量m=50kg，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²，不計(jì)空氣阻力．求：
（1）礦物到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度大��；
（2）礦物到達(dá)C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小；
（3）礦物由B點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)的過(guò)程中，克服阻力所做的功．

Answer 1

分析 （1）先假設(shè)礦物在AB段始終加速，根據(jù)動(dòng)能定理求出礦物到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度大小，將此速度與送帶勻速運(yùn)行的速度v₀=8m/s進(jìn)行比較，確定假設(shè)是否合理．
（2）礦物從C到D過(guò)程做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)的速度大小，根據(jù)牛頓第二定律求得軌道對(duì)礦物的壓力，即可得到礦物到達(dá)C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小．
（3）礦物由B到C過(guò)程中，重力和阻力做功，由動(dòng)能定理求解克服阻力所做的功．

解答 解：（1）假設(shè)礦物在AB段始終處于加速狀態(tài)，由動(dòng)能定理可得
  （μmgcosθ-mgsinθ）s_AB=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
 代入數(shù)據(jù)得  v_B=6m/s
由于v_B＜v₀，故假設(shè)成立，礦物B處速度是6m/s．
（2）設(shè)礦物對(duì)軌道C處壓力為F，由平拋運(yùn)動(dòng)知識(shí)可得
    S_CD=v_Ct    
   h_CD=$\frac{1}{2}$gt²
代入數(shù)據(jù)得礦物到達(dá)C處時(shí)速度  v_C=4m/s
有牛頓第二定律可得 F′+mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$  
代入數(shù)據(jù)得 F′=1500N
根據(jù)牛頓第三定律可得所求的壓力 F=F′=1500N
（3）礦物由B到C過(guò)程，由動(dòng)能定理得
-mgR（1+cos37°）+W_f=$\frac{1}{2}mν_B^2-\frac{1}{2}mν_c^2$．        
代入數(shù)據(jù)得 W_f=-140J
即礦物由B到C過(guò)程中克服阻力所做的功W_f=140J
答：
（1）礦物到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度大小是6m/s；
（2）礦物到達(dá)C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小是1500N；
（3）礦物由B點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)的過(guò)程中，克服阻力所做的功是140J．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了動(dòng)能定理的應(yīng)用及平拋運(yùn)動(dòng)的相關(guān)公式，要求同學(xué)們能根據(jù)題目要求選取不同的研究過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理解題．