Question

16．如圖甲所示，光滑的平行金屬導(dǎo)軌水平放置，導(dǎo)軌間距L=1m，左側(cè)接一阻值為R=0.5Ω的電阻．在MN與PQ之間存在垂直軌道平面的有界勻強磁場，磁場寬度d=1m．一質(zhì)量m=1kg的金屬棒ab置于導(dǎo)軌上，與導(dǎo)軌垂直且接觸良好，不計導(dǎo)軌和金屬棒的電阻．金屬棒ab受水平力F的作用從磁場的左邊界MN由靜止開始運動，其中，F(xiàn)與x（x為金屬棒距MN的距離）的關(guān)系如圖乙所示．通過電壓傳感器測得電阻R兩端電壓隨時間均勻增大．則：
（1）金屬棒剛開始運動時的加速度為多少？
（2）磁感應(yīng)強度B的大小為多少？
（3）若某時刻撤去外力F后金屬棒的速度v隨位移s的變化規(guī)律滿足v=v₀-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{mR}$s（v₀為撤去外力時的速度，s為撤去外力F后的位移），且棒運動到PQ處時恰好靜止，則金屬棒從MN運動到PQ的整個過程中通過左側(cè)電阻R的電荷量為多少？外力F作用的時間為多少？

Answer 1

分析 （1）對金屬棒受力分析，然后由牛頓第二定律求出加速度，根據(jù)題意，應(yīng)用E=BLv判斷金屬棒的運動性質(zhì)；
（2）由圖象求出x與F的對應(yīng)值，應(yīng)用牛頓第二定律求出磁感應(yīng)強度；
（3）由勻變速直線運動的位移公式、題意求出物體的位移，然后求出力的作用時間；克服安培力做功轉(zhuǎn)化為焦耳熱，由動能定理可以求出R產(chǎn)生的熱量．

解答 解：（1）金屬棒開始運動時，x=0，v=0，金屬棒不受安培力作用，
金屬棒所受合力為：F=$\sqrt{2x}$+4=0.4N，
由牛頓第二定律得：a=$\frac{F}{m}$=$\frac{0.4}{1}$m/s²=0.4m/s²，
（2）由題意可知，電阻R兩端電壓隨時間均勻增大，即金屬棒切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢隨時間均勻增大，
由E=BLv可知，金屬棒的速度v隨時間t均勻增大，則金屬棒做初速度為零的勻加速運動．加速度a=0.4m/s²，
由勻變速直線運動的位移公式可得：v²=2ax，則v=$\sqrt{2ax}$，
由圖乙所示圖象可知，x=0.8m時，F(xiàn)=0.8N，
由牛頓第二定律得：F-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$=ma，
解得：B=0.5T；
（3）金屬棒經(jīng)過磁場的過程中，感應(yīng)電動勢的平均值$\overline{E}=\frac{△φ}{△t}=\frac{B△S}{△t}=\frac{BLd}{△t}$
感應(yīng)電流的平均值$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{R}$
通過電阻R的電荷量q=$\overline{I}△$t
得q=$\frac{△φ}{R}=\frac{BLd}{R}$=1C
設(shè)外力F的作用時間為t，力F作用時金屬棒的位移為：x=$\frac{1}{2}$at²，
撤去外力后，金屬棒的速度為：v=v₀-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{mR}$s，
到PQ恰好靜止，v=0，
則撤去外力后金屬棒運動的距離為：s=$\frac{mR}{{B}^{2}{L}^{2}}$•at，
則$\frac{1}{2}$at²+$\frac{mR}{{B}^{2}{L}^{2}}$•at=d，
解得：t=1s；
答：（1）金屬棒剛開始運動時的加速度為0.4m/s²；
（2）磁感應(yīng)強度B的大小為0.5T；
（3）金屬棒從MN運動到PQ的整個過程中通過左側(cè)電阻R的電荷量為1C；外力F作用的時間為1s．

點評 對于電磁感應(yīng)問題研究思路常常有兩條：一條從力的角度，重點是分析安培力作用下導(dǎo)體棒的平衡問題，根據(jù)平衡條件列出方程；另一條是能量，分析涉及電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的能量轉(zhuǎn)化問題，根據(jù)動能定理、功能關(guān)系等列方程求解．