Question

17．用同種材料制成的質(zhì)量均為M=1kg的形狀不同的滑塊n個靜止在光滑水平面上，編號依次為1、2、3…．質(zhì)量為m=0.1kg的子彈（視為質(zhì)點）以水平初速度v₀=200m/s依次擊穿這些滑塊后最終保留在第n個滑塊中．要求子彈穿過每個滑塊的時間都相等，子彈在兩滑塊間勻速運動的時間也相等且等于子彈穿過一塊滑塊的時間，這必然導致每個滑塊長度不同，滑塊間的間距也不同．子彈穿過滑塊時受到的水平阻力f=150N并保持恒定．測得子彈穿過編號為1的滑塊后滑塊的速度變?yōu)関=1.5m/s．不考慮子彈在豎直方向上的受力和運動．（滑塊不翻轉，不計空氣阻力）
（1）求n
（2）用計算說明子彈剛穿過第N（N＜n）塊滑塊時，第N-1塊滑塊沒有追上第N塊滑塊
（3）易知第n塊滑塊與子彈相對靜止后，第n-1塊滑塊會追上第n塊滑塊，然后發(fā)生碰撞，已知滑塊間的碰撞為彈性碰撞，求滑塊間碰撞的總次數(shù)（用字母A表示）．要求有必要的計算過程和文字說明．

Answer 1

分析 分析子彈擊穿第一塊滑塊的過程，運用動量守恒定律求解．
第N塊剛被擊穿時是否被N-1塊追上，取決于二者靜止時的間距d_N-1是否小于子彈剛接觸N-1到剛擊穿N的過程N-1比N多走的位移，分析子彈的運動過程，運用運動學公式求解比較．子彈打穿前13塊后，1到13各塊的速度均為v，根據(jù)系統(tǒng)動量守恒定律和機械能守恒列車等式求解．

解答 解：（1）子彈擊穿第一塊滑塊的過程，規(guī)定向右為正方向，根據(jù)動量守恒定律得
mv₀=mv₁+Mv
得v₁=185m/s
由于子彈穿過每個滑塊的時間相等、受到的阻力也相等，所以速度的減少量相等
△v=v₀-v₁=15m/s
n=v₀/△v=40/3，取n=14
（2）第N塊剛被擊穿時是否被N-1塊追上，取決于二者靜止時的間距d_N-1是否小于子彈剛接觸N-1到剛擊穿N的過程N-1比N多走的位移．
子彈穿過一塊滑塊的時間或在兩滑塊間勻速運動的時間t=$\frac{m△v}{f}$=0.01s
子彈擊穿第N-1塊的過程中第N-1塊的位移：S_N-1=$\frac{v}{2}$t=0.075m
子彈擊穿N-1后勻速飛行的位移S′_N-1=[v₀-（N-1）△v]t=2-0.15（N-1）m
靜止時N-1與N的距離d_N-1=S_N-1+S′_N-1=2.075-0.15（N-1）m
當N=13時，d_N-1取最小值是0.275m．
從子彈剛接觸N-1到剛擊穿N的過程N-1比N多走的位移，如圖：

△S=vt=0.015m，
（d_N-1）_min＞△S，所以沒有追上．
（3）子彈打穿前13塊后，1到13各塊的速度均為v，子彈與第14塊相對靜止時共同速度為v_共＜v，13將追上14發(fā)生碰撞，對碰撞有
Mv+（M+m）v_共=Mv′+（M+m）v′_共
$\frac{1}{2}$Mv²+$\frac{1}{2}$（M+m）${v}_{共}^{2}$=$\frac{1}{2}$Mv′²+$\frac{1}{2}$（M+m）${v′}_{共}^{2}$

得v′=v_共-$\frac{m（v{-v}_{共}）}{2M+m}$ ①
v′_共=v-$\frac{m（v{-v}_{共}）}{2M+m}$ ②
因v′＜v所以12會追上13發(fā)生碰撞并交換速度，然后11與12、10與11…1與2碰撞并交換速度，這一輪碰撞會發(fā)生13次．這一輪碰撞完時，1的速度為v?，2到13的速度為v，14的速度為v?_共．
由②知v?_共＜v所以13會再次追上14發(fā)生碰撞．碰后14的速度大于v?_共但小于v，13的速度由①知大于v?．然后12與13、11與12…2與3交換速度，2與3交換速度后2的速度大于v?，1的速度小于2的速度，所以這一輪碰撞1號塊不參與，本輪碰撞共發(fā)生12次．
由以上分析知，碰撞一共會發(fā)生13輪，每輪碰撞的次數(shù)分別為13、12、11…1，所以總碰撞次數(shù)為
A=$\frac{（13+1）×13}{2}$=91次．
答：（1）n=14；
（2）（d_N-1）_min＞△S，所以沒有追上；
（3）滑塊間碰撞的總次數(shù)是91次．

點評 本題考查了求子彈、木塊速度問題，分析清楚運動過程、正確選擇研究對象與運動過程是解題的前提與關鍵，應用動量守恒定律即可正確解題；解題時要注意正方向的選擇．