Question

（2009?安徽模擬）在有“科學(xué)奧斯卡”之稱的美國《科學(xué)》雜志2003年度世界科技大突破評(píng)選中，wulixue 中的“證明宇宙是由暗物質(zhì)和暗能量‘主宰’”的觀點(diǎn)名列榜首，成為當(dāng)今科技突破中的頭號(hào)熱點(diǎn)．世界科技的發(fā)展顯示，暗物質(zhì)、暗能量正成為天體物理學(xué)研究的重點(diǎn)．宇宙的暗物質(zhì)是不能直接觀測到的東西，存在的依據(jù)來自于螺旋轉(zhuǎn)的星系和星團(tuán)，這些星系和星團(tuán)以自身為中心高速旋轉(zhuǎn)而沒有分散開去，僅靠自身質(zhì)量產(chǎn)生的引力遠(yuǎn)不足以把它們集合在一起的，一定存在暗物質(zhì)，它的吸引力足以把這些旋轉(zhuǎn)的星系牢牢抓住，根據(jù)對(duì)某一雙星系統(tǒng)的光學(xué)測量確定該雙星系統(tǒng)中每一個(gè)星體的質(zhì)量都是M，兩者相距L（L遠(yuǎn)大于星體的直徑），它們正圍繞兩者連線的中點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)．
（1）若沒有其他物質(zhì)存在，試推斷該雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期T．
（2）若試驗(yàn)上觀測到的運(yùn)動(dòng)周期為T’，且T’：T=1：

N

（N＞1），為了解釋觀測周期T’和（3）中理論上推算的雙星運(yùn)動(dòng)的周期T不同，目前有一種理論認(rèn)為，在宇宙中可能存在一種用望遠(yuǎn)鏡也觀測不到的暗物質(zhì)，作為一種簡化模型，我們假定在以這兩個(gè)星體連線為直徑的球體內(nèi)均勻分布著這種暗物質(zhì)，而不考慮其他暗物質(zhì)的影響，試根據(jù)這一模型和上述觀測結(jié)果確定該星系間這種暗物質(zhì)的密度．

Answer 1

分析：（1）雙星系統(tǒng)圍繞兩者連線的中點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，相互間萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解運(yùn)動(dòng)周期T．
（2）假定在以這兩個(gè)星體連線為直徑的球體內(nèi)均勻分布著這種暗物質(zhì)，雙星系統(tǒng)就由相互間的萬有引力的暗物質(zhì)的引力的合力提供向心力，由牛頓第二定律求出暗物質(zhì)的質(zhì)量，再求解其密度．

解答：解：（1）由萬有引力提供向心力有：

GMM

L2

=M?

L

2

4π2

T2

  ①
解得T=πL

2L GM

（2）設(shè)暗物的密度為ρ，質(zhì)量為m，則
m=ρ?

4

3

π(

L

2

)3=πρ

L3

6

再由萬有引力提供向心力有：

GMM

L2

+

GMM

( L 2 )2

=M?

L

2

?

4π2

T′ 2

②
由

①

②

得

M

M+4m

=

1

N

又m=πρ

L3

6

代入上式解得：
  ρ=

3(N-1)M

2πL3

答：（1）該雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期是πL

2L GM

．
（2）該星系間這種暗物質(zhì)的密度為

3(N-1)M

2πL3

．

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于雙星問題和暗物質(zhì)問題，關(guān)鍵都要建立模型，確定向心力的來源．若雙星圓周運(yùn)動(dòng)的圓心不在連線的中點(diǎn)，要采用隔離法研究．