Question

（12分）如圖 12 所示，一塊質(zhì)量為M，長為L的均質(zhì)長木板放在很長的光滑水平桌面上，板的左端有一質(zhì)量為m的小物體（可視為質(zhì)點），物體上連接一根很長的細(xì)繩，細(xì)繩跨過位于桌邊的定滑輪．某人以恒定的速率v向下拉繩，物體最多只能到達板的中點，已知整個過程板的右端都不會到達桌邊定滑輪處．試求：

（1）當(dāng)物體剛達木板中點時木板的位移；

（2）若木板與桌面之間有摩擦，為使物體能達到板的右端，板與桌面之間的動摩擦因數(shù)應(yīng)滿足什么條件？

 

Answer 1

解：（1）m與M相對滑動過程

        m勻速運動有 : vt = S₁         (1)

        M勻加速運動有：vt/2  =S₂      (2)

                   S₁  - S₂ =L/2        (3)

        聯(lián)立以上三式得S₂ = L/2

        (2)設(shè)m與M之間摩擦因數(shù)為μ₁

         當(dāng)桌面光滑時有   mgμ₁ = Ma₁   （4）

                          v² = 2a₁S₂     (5)

         由（4）（5）得

如果板與桌面有摩擦，因為M與桌面摩擦因數(shù)越大，m越易從右端滑下，所以當(dāng)m滑到M右端兩者剛好共速時摩擦因數(shù)最小，設(shè)為μ₂

對M有：    (6)

                              (7)

           (8)

對m有：                      （9）

                           （10）

聯(lián)立以上五式得

所以桌面與板間的摩擦因數(shù)μ ≥ Mv²/2（m + M）gL 。