Question

2．如圖所示是某游樂場的一種過山車的簡化圖，光滑的過山車軌道由傾角為θ的足夠長斜面和半徑為R的圓形軌道組成．可視為質點的過山車從斜面A處由靜止開始下滑，沿著斜面運動到B點（B為斜面與圓形軌道的切點），而后沿圓形軌道內側運動． 求：
（1）若過山車剛好能通過圓形軌道的最高點C，過山車經過C點時的速度大小
（2）在（1）情況下過山車過最低點D時對軌道的壓力為重力的幾倍
（3）考慮到游客的安全，要求全過程游客受到的支持力不超過自身重力的7倍，則允許過山車初始位置與B點的最大距離為多大．

Answer 1

分析 （1）根據牛頓第二定律求出過山車經過C點的速度大�。�
（2）根據動能定理求出過山車到達最低點的速度大小，結合牛頓第二定律求出支持力和重力的關系，從而得出壓力與重力的關系．
（3）根據牛頓第二定律求出最低點的速度，結合動能定理求出釋放點的高度，根據幾何關系求出過山車初始位置與B點的最大距離．

解答 解：（1）根據牛頓第二定律得，mg=m$\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$，
解得${v}_{C}=\sqrt{gR}$．
（2）根據動能定理得，$mg•2R=\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}$，
根據牛頓第二定律得，N-mg=m$\frac{{{v}_{D}}^{2}}{R}$，
聯立解得N=6mg．
根據牛頓第三定律知，過山車過最低點D時對軌道的壓力為重力的6倍．
（3）在最低點，根據牛頓第二定律得，$N-mg=m\frac{{v}_{D}{′}^{2}}{R}$，
解得${v}_{D}{′}^{2}=\sqrt{6gR}$，
根據動能定理得，mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{D}{′}^{2}$，
解得h=3R．
允許過山車初始位置與B點的最大距離s=$\frac{h-R（1-cosθ）}{sinθ}=\frac{3R-R（1-cosθ）}{sinθ}$=$\frac{2R+Rcosθ}{sinθ}$．
答：（1）過山車經過C點時的速度大小為$\sqrt{gR}$；
（2）在（1）情況下過山車過最低點D時對軌道的壓力為重力的6倍；
（3）允許過山車初始位置與B點的最大距離為$\frac{2R+Rcosθ}{sinθ}$．

點評 本題考查了動能定理、牛頓第二定律的綜合運用，知道最高點和最低點向心力的來源，運用牛頓第二定律和動能定理綜合求解，難度中等．