Question

（21分）如圖所示，一個(gè)矩形線圈的ab、cd邊長為L₁，ad、bc邊長為L₂，線圈的匝數(shù)為N，線圈處于磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，并以O(shè)O^/為中軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，（OO^/與磁場(chǎng)方向垂直，線圈電阻不計(jì)），線圈轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω，設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)從中性面開始計(jì)時(shí)，請(qǐng)回答下列問題：

（1）請(qǐng)用法拉第電磁感應(yīng)定律證明該線圈產(chǎn)生的是正弦交流電。
（2）將線圈產(chǎn)生的交流電通入電阻為R的電動(dòng)機(jī)時(shí)，形成的電流有效值為I，請(qǐng)計(jì)算該電動(dòng)機(jī)的輸出的機(jī)械功率（其它損耗不計(jì)）。
（3）用此電動(dòng)機(jī)將豎直固定的光滑U型金屬框架上的水平導(dǎo)體棒EF從靜止向上拉，已知導(dǎo)體棒的質(zhì)量為m，U型金屬框架寬為L且足夠長，內(nèi)有垂直向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₀，導(dǎo)體棒上升高度為h時(shí)，經(jīng)歷的時(shí)間為t，且此時(shí)導(dǎo)體棒剛開始勻速上升，棒有效電阻為R₀，金屬框架的總電阻不計(jì)，棒與金屬框架接觸良好，請(qǐng)計(jì)算：
①導(dǎo)體棒勻速上升時(shí)的速度和已知量的關(guān)系。
②若t時(shí)刻導(dǎo)體棒的速度為v₀，求t時(shí)間內(nèi)導(dǎo)體棒與金屬框架產(chǎn)生的焦耳熱。

Answer 1

（1）證明見解析。
（2）P=－I²R
（3）①－I²R= mgv＋
②Q=(－I²R)t－mgh－mv₀²

（1）（6分）證明：如圖所示，邊長L₁切割磁感線產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)

e₁=BL₁V_⊥=BL₁Vsinωt  而線速度V=
∴ e₁=BL₁sinωt 因有兩個(gè)邊切割，且有N匝
∴ e="2N" e₁=NBL₁L₂ωsinωt   即：e=E_msinωt
（2）次電流通過電動(dòng)機(jī)時(shí)，輸入的功率

由能量守恒知： P_入=P_Q＋P（P為機(jī)械功率）
∴P=－I²R           (5分)
（3）①（5分）電機(jī)帶導(dǎo)體棒勻
速上升。受力如圖

F=B₀IL＋mg    I= ，F(xiàn)=
∴=mg＋
即：－I²R= mgv＋
②（5分）對(duì)上升h應(yīng)用動(dòng)能定理：Pt－W－mgh=mv₀²－0
Q="W=" Pt－mgh－mv₀²
Q=(－I²R)t－mgh－mv₀²