Question

3．如圖所示，在xoy平面內(nèi)第Ⅱ象限有沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為E=$\sqrt{3}$×10⁴N/C．y軸右側(cè)有一個(gè)邊界為圓形的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，圓心O′位于x軸上，半徑為r=0.02m，磁場(chǎng)最左邊與y軸相切于O點(diǎn)，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里．第Ⅰ象限內(nèi)與x軸相距為h=2$\sqrt{3}$×10^-2m處，有一平行于x軸長(zhǎng)為l=0.04m的屏PQ，其左端P離y軸的距離為0.04m．一比荷為$\frac{q}{m}$=1.0×10⁶C/kg帶正電的粒子，從電場(chǎng)中的M點(diǎn)以初速度v₀=1.0×10⁴m/s垂直于電場(chǎng)方向向右射出，粒子恰能通過(guò)y軸上的N點(diǎn)．已知M點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為s=0.01m，N點(diǎn)到O點(diǎn)的距離為d=2$\sqrt{3}$×10^-2m，不計(jì)粒子的重力．求：
（1）粒子通過(guò)N點(diǎn)時(shí)的速度大小與方向；
（2）要使粒子打在屏上，則圓形磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)滿足的條件；
（3）若磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$T，且圓形磁場(chǎng)區(qū)域可上下移動(dòng)，則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可以求出粒子的速度．
（2）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的臨界值，然后確定磁感應(yīng)強(qiáng)度范圍．
（3）求出粒子轉(zhuǎn)過(guò)的最大圓心角，然后根據(jù)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期求出粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答 解：（1）設(shè)粒子通過(guò)N點(diǎn)時(shí)的速度為v，速度與豎直方向的夾角為θ，
粒子進(jìn)入電場(chǎng)后做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，
水平方向：s=v₀t，
豎直方向：v_y=at，
速度：$v=\sqrt{v_0^2+v_y^2}$，$tanθ=\frac{v_0}{v_y}$，
由牛頓第二定律有：qE=ma，
代入數(shù)據(jù)解得：v=2×10⁴m/s，θ=30°；
（2）粒子通過(guò)N點(diǎn)后將沿半徑方向進(jìn)入圓形磁場(chǎng)區(qū)域．
粒子垂直進(jìn)入磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)有：$qBv=m\frac{v^2}{R}$，
粒子剛好打在P點(diǎn)時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度最強(qiáng)設(shè)為B₁，此時(shí)粒子的軌跡半徑為R₁
由幾何關(guān)系有：R₁=rtanθ，代入數(shù)據(jù)解得：${B_1}=\sqrt{3}T$，
粒子剛好打在Q點(diǎn)時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度最弱設(shè)為B₂，此時(shí)粒子的軌跡半徑為R₂
由幾何關(guān)系有：R₂=r，代入數(shù)據(jù)解得：B₂=1T，
綜合得粒子要打在屏上磁感應(yīng)強(qiáng)度滿足：$1T≤B≤\sqrt{3}T$；
（3）粒子的軌跡半徑為：${R_3}=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}×{10^{-2}}$m，
設(shè)粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心角為α，弦長(zhǎng)為l'，
由幾何關(guān)系有：${R_3}sin\frac{α}{2}=\frac{l'}{2}$，
要使粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)，
則l'=2r，解得：$α=\frac{2π}{3}$，
設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)有：
$T=\frac{{2π{R_3}}}{v}=\frac{{4π\(zhòng)sqrt{3}}}{3}×{10^{-6}}$s，
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為：
$t=\frac{α}{2π}T=\frac{{4π\(zhòng)sqrt{3}}}{9}×{10^{-6}}$s；
答：（1）粒子通過(guò)N點(diǎn)時(shí)的速度大小為2×10⁴m/s，與豎直方向夾角為：30°；
（2）要使粒子打在屏上，則圓形磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)滿足的條件是：$1T≤B≤\sqrt{3}T$；
（3）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為$\frac{4π\(zhòng)sqrt{3}}{9}$×10^-6s．

點(diǎn)評(píng) 本題考查粒子在電場(chǎng)中類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)和在磁場(chǎng)中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，對(duì)學(xué)生幾何能力要求較高，能夠找出問(wèn)題的臨界情況是解決本題的關(guān)鍵．