Question

18．如圖所示，在豎直平面內(nèi)固定一圓管，圓管的內(nèi)壁粗糙外壁光滑，圓管的半徑為R=0.32m且遠(yuǎn)大于圓管的內(nèi)徑，一直徑略小于管的內(nèi)徑的小球放在管的最低點，小球質(zhì)量為m=0.2kg，重力加速度g取10m/s²，
（1）若要使小球能在圓管里持續(xù)地做完整的圓周運動，給小球的初速度v₀至少多大？
（2）若給小球的初速度v₀=3.6m/s，結(jié)果小球恰好能夠通過圓管的最高點，則小球從運動到恰好到達(dá)圓管最高點的過程中克服摩擦做的功為多少
（3）若給小球的初速度v₀=3.8m/s，則小球最終克服摩擦力做功為多少？

Answer 1

分析 （1）若要使小球能在圓管里持續(xù)地做完整的圓周運動，則緊貼外圓做圓周運動，在最高點的臨界情況是重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律結(jié)合機械能守恒定律求出初速度的最小值．
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出最高點的速度大小，根據(jù)動能定理求出克服摩擦力做功的大小．

解答 解：（1）設(shè)此情形下小球到達(dá)最高點的最小速度為v_C，則有mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
根據(jù)動能定理：-mg2R=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv₀²
代入數(shù)據(jù)解得：v₀=4m/s．
（2）若給小球的初速度v₀=3.6m/s
小球恰好能夠通過圓管的最高點，速度為0
根據(jù)動能定理：-mg2R-W_f=0-$\frac{1}{2}$mv₀²
得W_f=0.016J
（3）經(jīng)足夠長時間后，小球在下半圓軌道內(nèi)做往復(fù)運動，
設(shè)小球在整個運動過程中減少的機械能為△E，由功能關(guān)系有△E=$\frac{1}{2}$mv₀²-mgR
代入數(shù)據(jù)解得△E=0.804J．
答：（1）若要使小球能在圓管里持續(xù)地做完整的圓周運動，給小球的初速度v₀至少4m/s；
（2）若給小球的初速度v₀=3.6m/s，結(jié)果小球恰好能夠通過圓管的最高點，則小球從運動到恰好到達(dá)圓管最高點的過程中克服摩擦做的功為0.016J．
（3）若給小球的初速度v₀=3.8m/s，則小球最終克服摩擦力做功為0.804J．

點評 本題綜合考查了動能定理、牛頓第二定律和機械能守恒定律，綜合性較強，關(guān)鍵是理清運動過程，抓住臨界狀態(tài)，運用合適的規(guī)律進(jìn)行求解