Question

我國成功地發(fā)射了“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星．衛(wèi)星進(jìn)入地球軌道后還需要對(duì)衛(wèi)星進(jìn)行10次點(diǎn)火控制．前4次點(diǎn)火，讓衛(wèi)星不斷變軌加速，當(dāng)衛(wèi)星加速到v_o=11.0km/s的速度時(shí)進(jìn)入地月轉(zhuǎn)移軌道向月球飛去．后6次點(diǎn)火的主要作用是修正飛行方向和被月球捕獲時(shí)的緊急剎車，最終把衛(wèi)星送入離月面h=200km高的工作軌道（可視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)）．已知地球質(zhì)量是月球質(zhì)量的81倍，月球和地球的半徑分別為：R_月=1800km，R_地=6400km，衛(wèi)星質(zhì)量為2350kg，地球表面重力加速度g=10m/s²，引力恒量G=6.67×10^-11N?m²/kg²．求：（結(jié)果保留一位有效數(shù)字）
（1）地球的質(zhì)量．
（2）衛(wèi)星從離開地球軌道進(jìn)入地月轉(zhuǎn)移軌道最終穩(wěn)定在離月球表面h=200km的工作軌道上外力對(duì)它做了多少功？（忽略地球自轉(zhuǎn)及月球繞地球公轉(zhuǎn)的影響）

Answer 1

分析：1、忽略地球自轉(zhuǎn)，地球表面的物體受到的重力等于萬有引力mg=G

Mm

R地2

，代入數(shù)據(jù)可以計(jì)算地球的質(zhì)量．
2、衛(wèi)星繞月球運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供向心力G

M月m

(R月+h)2

=m

v2

R月+h

，得v=

GM月 R月+h

，代入數(shù)據(jù)計(jì)算衛(wèi)星的速度．根據(jù)動(dòng)能定理：W=

1

2

mv2-

1

2

mv02，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可．

解答：解：（1）忽略地球自轉(zhuǎn)，地球表面的物體受到的重力等于萬有引力mg=G

Mm

R地2

，得M=

gR地2

G

=

10×(6400×103)2

6.67×10-11

kg=6.14×10²⁴kg
（2）衛(wèi)星離月球表面h=200km的工作軌道上，萬有引力提供向心力G

M月m

(R月+h)2

=m

v2

R月+h

，
得v=

GM月 R月+h

=

6.67×10-11× 1 81 ×6.14×1024 (1800+200)×103

=1590m/s
根據(jù)動(dòng)能定理：W=

1

2

mv2-

1

2

mv02=

1

2

×2350×(15902-110002)J=-1.39×10¹¹J
答：（1）地球的質(zhì)量為6.14×10²⁴kg．
（2）衛(wèi)星從離開地球軌道進(jìn)入地月轉(zhuǎn)移軌道最終穩(wěn)定在離月球表面h=200km的工作軌道上外力對(duì)它做了-1.39×10¹¹J功．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查動(dòng)能定理和天體運(yùn)動(dòng)結(jié)合的問題，要主要根據(jù)萬有引力提供向心力計(jì)算出衛(wèi)星繞月的速度，在運(yùn)用動(dòng)能定理計(jì)算，難度不大，計(jì)算要小心．