Question

3．一顆圍繞地球運(yùn)行的飛船，其軌道為橢圓，已知地球質(zhì)量為M，地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，則下列說法正確的是（　�。�

• A． 飛船在遠(yuǎn)地點(diǎn)速度一定大于$\sqrt{gR}$
• B． 飛船在近地點(diǎn)瞬間減速轉(zhuǎn)移到繞地圓軌道后，周期一定變大
• C． 飛船在遠(yuǎn)地點(diǎn)瞬間加速轉(zhuǎn)移到繞地圓軌道后，機(jī)械能一定變大
• D． 飛船在橢圓軌道上的周期可能等于π$\sqrt{\frac{27R}{5g}}$

Answer 1

分析 近地環(huán)繞速度是$\sqrt{gR}$；
飛船在獲得其他能量，瞬間加速變軌，機(jī)械能增大；
開普勒第三定律是解決橢圓軌道周期問題的常見方法．

解答 解：A、$\sqrt{gR}$是地球表面附近勻速圓周運(yùn)動(dòng)速度，是最大環(huán)繞速度，飛船從近地點(diǎn)到遠(yuǎn)地點(diǎn)做減速運(yùn)動(dòng)，所以在遠(yuǎn)地點(diǎn)速度不可能大于$\sqrt{gR}$，故A錯(cuò)誤；
B、根據(jù)開普勒第三定律，飛船在近地點(diǎn)瞬間減速轉(zhuǎn)移到繞地圓軌道后，周期一定變小，故B錯(cuò)誤；
C、飛船在遠(yuǎn)地點(diǎn)瞬間加速轉(zhuǎn)移到繞地圓軌道后，因?yàn)榧铀佾@得能量后能量守恒，所以機(jī)械能一定變大，故C正確；
D、地球表面附近，萬(wàn)有引力提供向心力：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
所以$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$        ①
地球表面附近，重力近似等于萬(wàn)有引力：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$
所以GM=gR²        ②
聯(lián)立①②可得：
$T=π\(zhòng)sqrt{\frac{4R}{g}}$
根據(jù)開普勒第三定律，橢圓軌道半長(zhǎng)軸比R大，所以周期也大，即$π\(zhòng)sqrt{\frac{27R}{g}}＞π\(zhòng)sqrt{\frac{4R}{g}}$，故D正確．
故選：CD．

點(diǎn)評(píng) 熟練掌握近地衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)及受力和開普勒第三定律是解決本題的關(guān)鍵．開普勒第三定律也是解決橢圓軌道的常見方法．