Question

如圖甲所示，兩平行金屬板A、B的板長l=

3

10

m，板間距d=0.10m，在金屬板右側(cè)有一范圍足夠大的方向垂直于紙面向里的勻強磁場，其邊界為MN，與金屬板垂直．在t=0時刻，兩金屬板間加如圖乙所示的正弦交變電壓，勻強磁場的磁感應(yīng)強度B=1.0×10^-2T．現(xiàn)從t=0開始，從兩極板左側(cè)的中點O以每秒鐘1000個的數(shù)量不間斷地釋放出某種正電荷，這種帶正電的粒子均以v₀=

3

2

×10⁵m/s的速度沿兩板間的中線OO′連續(xù)進入電場，經(jīng)電場后射入磁場．已知帶電粒子的比荷

q

m

=1.25×10⁷C/kg，粒子的重力忽略不計，假設(shè)在粒子通過電場區(qū)域的極短時間內(nèi)極板間的電壓可以看作不變，不計粒子間的相互作用．求：
（1）t=0時刻進入的粒子，經(jīng)邊界MN射入磁場和射出磁場時兩點間的距離（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）；
（2）每秒鐘有多少個帶正電的粒子進入磁場；
（3）何時由O點進入的帶電粒子在磁場中運動的時間最長，最長時間為多少？（π≈3）

Answer 1

分析：（1）t=0時刻，電壓為0，故粒子在電場中不會發(fā)生偏轉(zhuǎn)，由洛侖茲力充當(dāng)向心力公式可得出粒子的偏轉(zhuǎn)半徑；由幾何關(guān)系可得出入射點與出射點間的距離；
（2）隨著電壓的增大，粒子的偏轉(zhuǎn)位移也增大；則能穿出電場的臨界條件是粒子恰好打在板的最右端；由類平拋運動的規(guī)律可求得臨界電壓；由圖可求得能進入磁場的粒子個數(shù)；
（3）要使粒子運動時間最長，則粒子在磁場中轉(zhuǎn)過的圓心角應(yīng)最大；由幾何關(guān)系可得粒子在磁場中的圓心角，從而求出最長時間．

解答：解：（1）t=0時，U_AB=0，帶電粒子在極板間不偏轉(zhuǎn)，水平射入磁場，由qvB=m

v 2 0

r

得   r=

mv0

qB

①
射入和射出磁場時，兩點間的距離為s=2r    ②
由①②可得s=1.4m                        ③
（2）設(shè)：當(dāng)兩極板電壓為u時，由O點射入的粒子剛好從板的邊緣進入磁場，則有

1

2

d=

1

2

at2④
qE=ma⑤，
E=

u

d

⑥
t=

l

v0

⑦
由④⑤⑥⑦式得：U=

md2 v 2 0

ql2

，代入數(shù)據(jù)得：U=200V       ⑧
由乙圖可知，在每周期內(nèi)只有0～

1

8

T0，

3

8

T0～

5

8

T0，

7

8

T0～T₀，時間段內(nèi)由O射入的粒子才能通過電場而進入磁場，即只有一半的時間內(nèi)有粒子能進入磁場，所以每秒鐘有500個粒子進入磁場．
（3）只有當(dāng)A板電勢高于B板電勢，且沿B板右側(cè)邊緣進入磁場的粒子，由于在電場中的偏轉(zhuǎn)角最大，使得其在磁場中做圓周運動對應(yīng)的圓心角最大，故在磁場中運動的時間最長，如圖所示．即t=(n+

1

8

)T0，（n=0，1，2，3，…）⑨
或t=(n+

3

8

)T0，（n=0，1，2，3，…）⑩
這些時刻入射的粒子在磁場中運動的時間最長．
由帶電粒子在電場中做類平拋運動的特點可得tanθ=

d 2

l 2

=

3

3

，θ=30°   （11）
設(shè)粒子在磁場中做勻速圓周運動的周期T，所求的最長時間為t′，則有T=

2πm

qB

（12）
由幾何關(guān)系得粒子在磁場中運動的圓心角240°，
則 t′=

2

3

T（13）
由（12）（13）式代入數(shù)據(jù)得t′=3.2×10^-5s      
答：（1）t=0時刻進入的粒子，經(jīng)邊界MN射入磁場和射出磁場時兩點間的距離為1.4m；
（2）每秒鐘有500個帶正電的粒子進入磁場；
（3）t=(n+

1

8

)T0或t=(n+

3

8

)T0時由O點進入的帶電粒子在磁場中運動的時間最長，
最長時間為3.2×10^-5s．

點評：本題應(yīng)注意題意中給出的條件，在粒子穿出電場的時間極短，電壓看作不變；同時要注意帶電粒子在磁場中的偏轉(zhuǎn)類題目一定要找清幾何關(guān)系．