Question

8．如圖所示，水平軌道AB長L=9m，光滑傾斜軌道BC足夠長．開始時質量為m_Q=1kg的滑塊Q靜止在AB中點M處；在A點，質量為m_P=3kg的滑塊P以速度v₀=5m/s向右運動；P、Q只會發(fā)生彈性碰撞，滑塊經過B點時，動能損失不計．已知重力加速度g=10m/s²，P、Q與水平軌道間的動摩擦因數μ=0.1．求：
（1）P向右運動的最大位移大小；
（2）Q在傾斜軌道上能滑到的最大高度；
（3）P、Q都停下后兩滑塊間的距離．

Answer 1

分析 （1）由動能定理求出P到達M點的速度，由動量守恒定律求出P與Q碰撞后各自的速度，最后由動能定理求出P向右的最大位移，以及停止時的位置；
（2）由動能定理求出Q到達B的速度，由機械能守恒求出Q在傾斜軌道上能滑到的最大高度；
（3）由動能定理求出Q再次與Q碰撞前的速度，由動量守恒定律與動能守恒求出碰撞后的速度，最后由動能定理求出P、Q都停下后兩滑塊間的距離．

解答 解：（1）P向右做減速運動的過程中只有摩擦力做功，設P到達M點的速度為v₁，由動能定理得：
$-μ{m}_{P}g•\frac{L}{2}=\frac{1}{2}{m}_{P}{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}{m}_{P}{v}_{0}^{2}$
代入數據得：v₁=4m/s
P與Q碰撞的過程中，系統在水平方向的動量守恒，選取向右為正方向，設碰撞后的速度分別為v₂和v₃，則：
m_Pv₁=m_Pv₂+m_Qv₃
由于是彈性碰撞，則總動能不變，得：
${\frac{1}{2}m}_{P}{{v}_{1}}^{2}=\frac{1}{2}{m}_{P}{{v}_{2}}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{Q}{{v}_{3}}^{2}$
聯立得：v₂=2m/s，v₃=6m/s
碰撞后P與Q都向右做減速運動，設P向右的位移為x，則有：
$-μ{m}_{P}g•x=0-\frac{1}{2}{m}_{P}{v}_{2}^{2}$
代入數據得：x=2m
所以P向右運動的最大位移大小為：
${x}_{m}=\frac{L}{2}+x=\frac{9}{2}+2=6.5$m；
（2）設Q運動到B點的速度為v₄，由動能定理得：
$-μ{m}_{Q}g•\frac{L}{2}=\frac{1}{2}{m}_{Q}{v}_{4}^{2}-\frac{1}{2}{m}_{Q}{v}_{3}^{2}$
Q在斜面上運動的過程中機械能守恒，得：
$\frac{1}{2}{m}_{Q}{v}_{4}^{2}={m}_{Q}gh$
聯立得：h=1.35m
（3）P停止的位置到B點的距離為：
x′=L-x_m=9-6.5=2.5m
由于斜面光滑，所以Q返回B點的速度大小仍然與v₄大小相等，方向向左．當Q與P碰撞時，設速度為v₅，則有：
$-μ{m}_{Q}g•x′=\frac{1}{2}{m}_{Q}{v}_{5}^{2}-\frac{1}{2}{m}_{Q}{v}_{4}^{2}$
設碰撞后P與Q的速度分別為v₆和v₇，選取向左為正方向，則有：
m_Qv₅=m_Qv₆+m_Pv₇
由動能守恒得：${\frac{1}{2}m}_{Q}{{v}_{5}}^{2}=\frac{1}{2}{m}_{P}{{v}_{6}}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{Q}{{v}_{7}}^{2}$
聯立得：${v}_{6}=\sqrt{5.5}m/s，{v}_{7}=-\sqrt{5.5}m/s$，負號表示Q在碰撞后運動的方向向右．
設P在碰撞后的位移大小為x_P，則：${x}_{P}=\frac{{v}_{6}^{2}}{2μg}=\frac{5.5}{2×0.1×10}=2.75$m，方向向左；
設P在碰撞后的位移大小為x_Q，則：${x}_{Q}=\frac{{v}_{7}^{2}}{2μg}=\frac{5.5}{2×0.1×10}=2.75$m，方向向右．
由于x_Q＞x′=2.5m，可知Q到達B點時的速度大于0，所以Q將第二次沖上斜面，然后以沖上斜面的速度返回，再向右運動一段距離后停止，所以Q停止時，到B點的距離：L_Q=x_Q-x′=2.75m-2.5m=0.25m
所以在P與Q都停止運動后，二者之間的距離：
x_PQ=x_P+（x′-L_Q）=2.75+（2.5-0.25）=5m
答：（1）P向右運動的最大位移大小是6.5m；
（2）Q在傾斜軌道上能滑到的最大高度是1.35m；
（3）P、Q都停下后兩滑塊間的距離是5m．

點評 該題涉及的過程比較多，在解答該題中，由于涉及Q從斜面上返回的問題，所以在解答的過程中要注意Q到達B點的速度是否等于0．