Question

11．如圖所示，兩平行絕緣板放置于豎直平面內(nèi)，間距為d，板間有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子沿板的中心線從板的左端以速度v₀射入磁場，已知$\frac{mg}{qB}$＜v₀＜$\frac{2mg}{qB}$，現(xiàn)要使粒子在板間運(yùn)動時，不觸及板，且仍沿中心線射出磁場，求平行板的長度及板間距離d應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

分析 粒子在磁場中受到重力和洛倫茲力的作用，洛倫茲力大于重力，可以將粒子受到的洛倫茲力分成兩個部分，一部分與重力抵消，另一部分使粒子做圓周運(yùn)動，所以粒子的運(yùn)動可以看做是兩部分組成，一部分恰好做勻速直線運(yùn)動，重力與洛侖茲力平衡，另一部分是做勻速圓周運(yùn)動；然后結(jié)合題目給出的條件即可正確解答．

解答 解：由分析可知，粒子的運(yùn)動可以看做是兩個分運(yùn)動的合成：一個運(yùn)動是勻速圓周運(yùn)動，另一個分運(yùn)動的勻速直線運(yùn)動，所以粒子的速度也可以看做兩部分組成，即可以將粒子的速度分解成v₁和v₂，其中：${v}_{1}=\frac{mg}{qB}$，則：${v}_{2}={v}_{0}-{v}_{1}={v}_{0}-\frac{mg}{qB}$
粒子以v₁ 做勻速直線運(yùn)動，以v₂做勻速圓周運(yùn)動，運(yùn)動的半徑r，則：$q{v}_{2}B=\frac{m{v}_{2}^{2}}{r}$，
得：$r=\frac{m{v}_{2}}{qB}$，
粒子做勻速圓周運(yùn)動的周期：$T=\frac{2πr}{qB}=\frac{2Ωm}{qB}$
粒子在一個周期內(nèi)向右運(yùn)動的距離為：$x={v}_{1}T=\frac{2π{m}^{2}g}{{q}^{2}{B}^{2}}$
若粒子仍沿中心線射出磁場，則運(yùn)動的時間一定是周期的整數(shù)倍，所以極板的長度：L=nx=$\frac{2nπ{m}^{2}g}{{q}^{2}{B}^{2}}$（n=1，2，3…）
粒子不打到極板上，則：$\frac{1}{2}d＞2r$，得：$d＞4r=\frac{4m{v}_{2}}{qB}=\frac{4m}{qB}（{v}_{0}-\frac{mg}{qB}）$
答：平行板的長度滿足的條件是L=$\frac{2nπ{m}^{2}g}{{q}^{2}{B}^{2}}$（n=1，2，3…），板間距離d應(yīng)滿足的條件$d＞\frac{4m}{qB}（{v}_{0}-\frac{mg}{qB}）$．

點評 該題考查帶電粒子在混合場的運(yùn)動，解題的關(guān)鍵是將粒子的運(yùn)動分解成兩個分運(yùn)動：沿極板的中性線的運(yùn)動與勻速直線運(yùn)動，然后再分析這兩個分運(yùn)動才能正確解答．