Question

（12分）在29屆北京奧運(yùn)會(huì)中，中國(guó)乒乓球隊(duì)已經(jīng)就包攬男子團(tuán)體、女子團(tuán)體、女子單打、男子單打四枚奧運(yùn)會(huì)金牌。國(guó)際乒乓球聯(lián)為了增加乒乓球比賽的觀賞性，希望降低球的飛行速度。以前比賽用球的直徑是mm。1996年國(guó)際乒聯(lián)接受了一項(xiàng)關(guān)于對(duì)直徑是mm而質(zhì)量不變的乒乓球進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的提案。為了簡(jiǎn)化討論，設(shè)空氣對(duì)球的阻力與球的直徑的平方成正比，并且球沿水平方向作直線運(yùn)動(dòng)。試估算一下若采用mm的乒乓球，球從球臺(tái)這端飛往另一端所需要的時(shí)間能增加百分之多少？（國(guó)際乒聯(lián)協(xié)調(diào)組提供的資料，扣殺直徑mm的乒乓球時(shí)，擊球球速為m/s，球的平均飛行速度約為m/s。）

Answer 1

解析：設(shè)乒乓球的直徑為，依題意，乒乓球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所受的阻力為，式中k為比例系數(shù)。設(shè)扣殺時(shí)球的初速度為，且對(duì)不同直徑的球都不變，飛到球臺(tái)的另一端時(shí)的末速度為，飛行距離為S。對(duì)乒乓球在球臺(tái)的一端飛到另一端的過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理有：

，在上述過(guò)程中球的平均速度為，

由以上二式得，

對(duì)直徑為38mm和40mm的兩種球有

設(shè)，并注意到m/s，m/s，上式可寫(xiě)成：

，解得

由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，有，得

球飛行時(shí)間的增加量為，飛行時(shí)間增加的百分比為：

。

即乒乓球的飛行時(shí)間可增加15.58%。