Question

 如圖所示，水平桌面上有一輕彈簧，左端固定在A點(diǎn)，彈簧處于自然狀態(tài)時(shí)其右端位于B點(diǎn)．水平桌面右側(cè)有一豎直放置的光滑軌道MNP，其形狀為半徑R＝0.8m的圓環(huán)剪去了左上角135°的圓弧，MN為其豎直直徑，P點(diǎn)到桌面的豎直距離也是R.用質(zhì)量m₁＝0.4kg的物塊將彈簧緩慢壓縮到C點(diǎn)，釋放后彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)物塊恰停止在B點(diǎn)．用同種材料、質(zhì)量為m₂＝0.2kg的物塊將彈簧也緩慢壓縮到C點(diǎn)釋放，物塊經(jīng)過(guò)B點(diǎn)后其位移與時(shí)間的關(guān)系為x＝6t－2t²，物塊從桌面右邊緣D點(diǎn)飛離桌面后，由P點(diǎn)沿圓軌道切線落入圓軌道．g＝10m/s²，求：

(1)BP間的水平距離；

(2)判斷m₂能否沿圓軌道到達(dá)M點(diǎn)；

(3)釋放后m₂運(yùn)動(dòng)過(guò)程中克服摩擦力做的功．

Answer 1

解析：(1)設(shè)物塊由D點(diǎn)以初速度v_D做平拋運(yùn)動(dòng)，落到P點(diǎn)時(shí)其豎直速度為v_y，有v＝2gR

而＝tan45°，解得v_D＝4m/s    (2分)

設(shè)物塊做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，水平位移為x₁，有R＝gt²，x₁＝v_Dt，解得x₁＝1.6m    (2分)

由題意可知，小球過(guò)B點(diǎn)后以初速度為v₀＝6m/s，加速度大小a＝4m/s²減速到v_D，設(shè)BD間位移為x₂，有v－v＝2ax₂                  x₂=2.5m     (2分)

所以BP水平間距為x＝x₁＋x₂＝4.1m     (1分)

(2)若物塊能沿軌道到達(dá)M點(diǎn)，設(shè)其速度為v_M，有－m₂gR＝m₂v－m₂v    (3分)

解得v_M≈2.2m/s<≈2.8m/s   (2分)

即物塊不能到達(dá)M點(diǎn)．   (1分)

(3)設(shè)彈簧長(zhǎng)為AC時(shí)的彈性勢(shì)能為E_P，物塊與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，則

釋放m₁時(shí)，E_P＝μm₁gx_{CB     (2分)}

釋放m₂時(shí)，E_P＝μm₂gx_CB＋m₂v      解得E_P＝7.2J         (3分)

設(shè)m₂在桌面上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中克服摩擦力做功為W_f，有E_P－W_f＝m₂v      解得W_f＝5.6J.   (2分)