Question

4．如圖所示，ABCD為豎立放在場強為E=10⁴V/m的水平勻強電場中的絕緣光滑軌道，其中軌道的BCD部分是半徑為R的半圓環(huán)，軌道的水平部分與半圓環(huán)相切，A為水平軌道上的一點，而且AB=R=0.2m．把一質量m=0.1kg、帶電量q=10^-4C的小球，放在水平軌道的A點由靜止開始釋放后，在軌道的內側運動．（g取10m/s²）求：
（1）它到達C點時的速度是多大？
（2）若讓小球安全通過D點，開始釋放點離B點至少多遠？
（3）若能通過最高點，從A運動到D的過程中，在何處有最大動能？最大動能為多少？

Answer 1

分析 （1）對AC過程由動能定理可求得C點的速度大��；
（2）根據臨界條件可求得最高點的速度，再對全過程分析根據動能定理可求得AB間的距離；
（3）分析運動過程，根據合力的方向即可明確電場力和重力做功情況，知道當到達等效重力場的最低點時動能最大，則根據動能定理即可明確最大動能．

解答 解：（1）由A點到C點應用動能定理
有Eq（AB+R）-mgR=$\frac{1}{2}$mv_C²
解得v_C=2  m/s．
（2）在D點，小球要安全通過必有mg≤m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
設釋放點距B點的距離為x，由動能定理得：
Eqx-mg2R=$\frac{1}{2}$mv_D²
以上兩式聯立可得x≥0.5 m．
（3）AB過程電場力一直做正功，故動能增大；進入圓軌跡時，重力和電場力的合力做功；合力方向如圖所示，合力方向與水平方向夾角tanθ=$\frac{mg}{Eq}$=$\frac{0.1×10}{1{0}^{4}×1{0}^{-4}}$=1，故夾角為45°；故到達BC弧中點時動能最大；
因此當粒子運動到與O連線夾角為45°時，動能最大，則由動能定理可知：
Eq（AB+Rcos45°）-mg（R-Rsin45°）=E_km
解得：E_km=0.2$\sqrt{2}$J；
答：（1）它到達C點時的速度是2m/s
（2）若讓小球安全通過D點，開始釋放點離B點至少為0.2m；
（3）若能通過最高點，從A運動到D的過程中，小球經過BC弧中點位置時的速度最大，最大動能為0.2$\sqrt{2}$J．

點評 對與圓周運動結合的題目，一般要用到動能定理、牛頓第二定律以及速度最大或最小的臨界條件，應記住在復合場中速度最大即等效“最低點”是物體能夠平衡的位置，速度最小（等效最高點）位置則是最低點關于圓心的對稱點．