Question

8．如圖所示，將直徑為2R的半圓形導(dǎo)軌固定在豎直面內(nèi)的A、B兩點(diǎn)，直徑AB與豎直方向的夾角為60°．在導(dǎo)軌上套一質(zhì)量為m的小圓環(huán)，原長為2R、勁度系數(shù)k=$\frac{mg}{8R}$的彈性輕繩穿過圓環(huán)且固定在A、B兩點(diǎn)．已知彈性輕繩產(chǎn)生的彈力和彈性勢能與輕彈簧規(guī)律相同，重力加速度為g，不計(jì)一切摩擦．將圓環(huán)由A點(diǎn)正下方的C點(diǎn)靜止釋放，當(dāng)圓環(huán)運(yùn)動(dòng)到導(dǎo)軌的最低點(diǎn)D點(diǎn)時(shí)，求
（1）比較圓環(huán)在C、D兩點(diǎn)時(shí)彈性輕繩具有的彈性勢能大小關(guān)系．
（2）圓環(huán)的速率v；
（3）導(dǎo)軌對圓環(huán)的作用力F的大小？

Answer 1

分析 從C到D過程，由機(jī)械能守恒定律可以求出圓環(huán)的速度；圓環(huán)做圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律可以求出在D點(diǎn)軌道對圓環(huán)的作用力．

解答 解：（1）如圖所示，由幾何知識得，圓環(huán)在C點(diǎn)、D點(diǎn)時(shí)，彈性繩形變量相同，彈性勢能相等；
 
（2）由機(jī)械能守恒定律，有：
mgh=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
由幾何關(guān)系可知：
h=$\frac{R}{2}$                     
解得：v=$\sqrt{gR}$
（3）圓環(huán)在D點(diǎn)受力如圖，彈性繩的彈力f=kx，其中x=（$\sqrt{3}-1$）R
由牛頓第二定律，有：
F_N+fcos60°-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：F_N=$\frac{15}{8}mg$
答：（1）圓環(huán)在C、D兩點(diǎn)時(shí)彈性輕繩具有的彈性勢能大小相等；
（2）圓環(huán)的速率v為$\sqrt{gR}$；
（3）導(dǎo)軌對圓環(huán)的作用力F的大小為$\frac{15}{8}mg$．

點(diǎn)評 本題考查了求圓環(huán)的速率、軌道對圓環(huán)的作用力，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律與牛頓第二定律即可正確解題；本題的難點(diǎn)，也是本題解題的關(guān)鍵是：應(yīng)用數(shù)學(xué)知識氣促C、D兩點(diǎn)間的高度差、求出彈性繩的形變量．