Question

8．如圖所示，某人造地球衛(wèi)星發(fā)射過程經(jīng)過地球近地軌道Ⅰ，橢圓軌道Ⅱ，最終到達預定圓軌道Ⅲ，橢圓軌道Ⅱ與近地軌道Ⅰ和圓軌道Ⅲ分別相切于P點和Q點．已知地球半徑為R，地球表面上的重力加速度為g，衛(wèi)星從P點到Q點運行時間t_PQ=8π$\sqrt{\frac{R}{g}}$，則下列說法正確的是（　　）

• A． 衛(wèi)星從P點到Q點做加速運動
• B． 圓周軌道Ⅲ的半徑為8R
• C． 圓周軌道Ⅲ的半徑為7R
• D． 衛(wèi)星在圓周軌道Ⅲ的周期14π$\sqrt{\frac{R}{g}}$

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力做功正負分析衛(wèi)星從P點到Q點速度的變化．由開普勒第三定律求圓周軌道Ⅲ的半徑．由萬有引力等于向心力，以及重力等于萬有引力分別列式，即可求得衛(wèi)星在圓周軌道Ⅲ的周期．

解答 解：A、衛(wèi)星從P點到Q點的過程中，萬有引力對衛(wèi)星對做負功，其速度減小，做減速運動，故A錯誤；
BC、由題可得，衛(wèi)星沿橢圓軌道Ⅱ運動的周期${T}_{Ⅱ}^{\;}=2{t}_{PQ}^{\;}=16π\(zhòng)sqrt{\frac{R}{g}}$，設圓周軌道Ⅲ的半徑為r，衛(wèi)星在近地軌道Ⅰ運行的運行的周期為${T}_{Ⅰ}^{\;}$
根據(jù)萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{Ⅰ}^{2}}R$，得${T}_{Ⅰ}^{\;}=2π\(zhòng)sqrt{\frac{{R}_{\;}^{3}}{GM}}$
在地面重力等于萬有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$，得$GM=g{R}_{\;}^{2}$
解得：${T}_{Ⅰ}^{\;}=2π\(zhòng)sqrt{\frac{R}{g}}$
由根據(jù)開普勒第三定律：$\frac{{R}_{\;}^{3}}{{T}_{Ⅰ}^{2}}=\frac{（\frac{R+r}{2}）_{\;}^{3}}{{T}_{Ⅱ}^{2}}$
解得：r=7R，故B錯誤，C正確；
D、由開普勒第三定律：$\frac{{R}_{\;}^{3}}{{T}_{Ⅰ}^{2}}=\frac{{r}_{\;}^{3}}{{T}_{Ⅲ}^{2}}$
解得：${T}_{Ⅲ}^{\;}=6π\(zhòng)sqrt{\frac{7R}{g}}$，故D錯誤；
故選：C

點評 解決本題的關鍵要掌握開普勒第三定律：$\frac{{a}_{\;}^{3}}{{T}_{\;}^{2}}=k$，要知道公式中a是半長軸，靈活運用比例法解答．