Question

在水平長(zhǎng)直的軌道上，有一長(zhǎng)度為L(zhǎng)的平板車在外力控制下始終保持速度v₀做勻速直線運(yùn)動(dòng)．某時(shí)刻將一質(zhì)量為m的小滑塊輕放到車面的中點(diǎn)，滑塊與車面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ．
（1）證明：若滑塊最終停在小車上，滑塊和車摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能與動(dòng)摩擦因數(shù)μ無關(guān)，是一個(gè)定值．
（2）已知滑塊與車面間動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，滑塊質(zhì)量m=1kg，車長(zhǎng)L=2m，車速v₀=4m/s，取g=10m/s²，當(dāng)滑塊放到車面中點(diǎn)的同時(shí)對(duì)該滑塊施加一個(gè)與車運(yùn)動(dòng)方向相同的恒力F，要保證滑塊不能從車的左端掉下，恒力F大小應(yīng)該滿足什么條件？
（3）在（2）的情況下，力F取最小值，要保證滑塊不從車上掉下，力F的作用時(shí)間應(yīng)該在什么范圍內(nèi)？

Answer 1

（1）根據(jù)牛頓第二定律，滑塊相對(duì)車滑動(dòng)時(shí)的加速度a=

μmg

m

=μg
滑塊相對(duì)車滑動(dòng)的時(shí)間 t=

v0

a

滑塊相對(duì)車滑動(dòng)的距離  s=v0t-

v 20

2a

 
滑塊與車摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能  Q=μmgs
由上述各式解得  Q=

1

2

m

v

20

（與動(dòng)摩擦因數(shù)μ無關(guān)的定值）
（2）設(shè)恒力F取最小值為F₁，滑塊加速度為a₁，此時(shí)滑塊恰好到達(dá)車的左端，則
滑塊運(yùn)動(dòng)到車左端的時(shí)間  t1=

v0

a1

①
由幾何關(guān)系有  v0t1-

v0

2

t1=

L

2

②
由牛頓定律有  F₁+μmg=ma₁③
由①②③式代入數(shù)據(jù)解得  t₁=0.5s，F(xiàn)₁=6N
則恒力F大小應(yīng)該滿足條件是  F≥6N
（3）力F取最小值，當(dāng)滑塊運(yùn)動(dòng)到車左端后，為使滑塊恰不從右端滑出，相對(duì)車先做勻加速運(yùn)動(dòng)（設(shè)運(yùn)動(dòng)加速度為a₂，時(shí)間為t₂），再做勻減速運(yùn)動(dòng)（設(shè)運(yùn)動(dòng)加速度大小為a₃）．到達(dá)車右端時(shí)，與車達(dá)共同速度．則有F₁-μmg=ma₂④
μmg=ma₃⑤

1

2

a2

t

22

+

a 22 t 22

2a3

=L⑥
由④⑤⑥式代入數(shù)據(jù)解得t2=

3

3

s=0.58s
則力F的作用時(shí)間t應(yīng)滿足  t₁≤t≤t₁+t₂，即0.5s≤t≤1.08s