Question

8．如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，第一、四象限存在垂直紙面向里的足夠大勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．在第二象限存在與y軸反方向成30°的斜向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)．一帶電量為q質(zhì)量為m的正離子，從坐標(biāo)原點(diǎn)O位置以大小為$\frac{qBd}{m}$的速度與x軸成30°角度射向第四象限．經(jīng)磁場(chǎng)變向后，恰好在y軸上的某點(diǎn)進(jìn)入第二象限．再?gòu)膞軸上的A點(diǎn)離開(kāi)電場(chǎng)．已知OA之間的距離為d．不計(jì)重力．試求
（1）離子在第一、四象限運(yùn)動(dòng)的時(shí)間
（2）電場(chǎng)強(qiáng)度E
（3）離子在A點(diǎn)的速度大�。�

Answer 1

分析 （1）離子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期為T=$\frac{2πm}{qB}$，離子進(jìn)入第二象限時(shí)速度與y軸方向成60°，在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角為120°，由公式t=$\frac{θ}{2π}$T，θ是軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角求解時(shí)間．
（2）離子垂直進(jìn)入電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，由幾何知識(shí)得到沿初速度方向和垂直于初速度兩個(gè)方向的分位移，由牛頓第二定律和位移公式結(jié)合求解電場(chǎng)強(qiáng)度E．
（3）由動(dòng)能定理求解離子在A點(diǎn)的速度大小．

解答 解：（1）離子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期為T=$\frac{2πm}{qB}$．
由離子初速度與x軸成30°，可得離子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角為240°，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t=$\frac{240°}{360°}$T=$\frac{4πm}{3qB}$
（2）由qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$和v=$\frac{qBd}{m}$，可得離子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為 R=d
又已知電場(chǎng)的方向，可知離子垂直進(jìn)入電場(chǎng)，做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)離子從C點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)．
由幾何關(guān)系可得，OO′=OA=OC，且OC與電場(chǎng)平行，AO′與電場(chǎng)垂直，則可知沿電場(chǎng)力方向的位移為d，沿初速度方向的位移為$\sqrt{3}$d
則 d=$\frac{qE}{2m}{t}^{2}$；$\sqrt{3}$d=vt
可得 E=$\frac{2{B}^{2}qd}{3m}$
（3）由動(dòng)能定理得：qEd=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得 v_A=$\frac{\sqrt{21}Bqd}{3m}$
答：
（1）離子在第一、四象限運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為$\frac{4πm}{3qB}$．
（2）電場(chǎng)強(qiáng)度E為$\frac{2{B}^{2}qd}{3m}$．
（3）離子在A點(diǎn)的速度大小為$\frac{\sqrt{21}Bqd}{3m}$．

點(diǎn)評(píng) 本題的解題關(guān)鍵是畫出帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，運(yùn)用幾何知識(shí)求出粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)的角度和電場(chǎng)中的兩個(gè)分位移大小，再由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律結(jié)合答題．