Question

6．如圖所示，用長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)線將質(zhì)量為m的小球懸掛于O點(diǎn)，小球在外力作用下靜止在A處，此時(shí)細(xì)線偏離豎直的夾角為α，現(xiàn)撤去外力，讓小球由靜止釋放，擺到最低點(diǎn)B時(shí)，細(xì)線被O點(diǎn)正下方的小釘子擋住，小球繼續(xù)向左擺動(dòng)到細(xì)線偏離豎直方向β（β＜α）角時(shí)，垂直撞擊擋板，此后，小球擺到右側(cè)最高點(diǎn)時(shí)細(xì)線與豎直方向夾角也為β．不計(jì)空氣阻力，忽略細(xì)線與釘子相互作用時(shí)的能量損失．求：
（1）小球靜止在A處時(shí)，所受外力的最小值；
（2）小球第一次向左擺到B點(diǎn)前瞬間對(duì)細(xì)線的拉力大��；
（3）小球與擋板第一次垂直撞擊過(guò)程中，擋板對(duì)小球做的功；并請(qǐng)判斷小球是否會(huì)第二次撞擊擋板，給出理由．

Answer 1

分析 （1）小球在A處于靜止，受共點(diǎn)力平衡，當(dāng)F₁與細(xì)線垂直時(shí)最小，根據(jù)平衡條件求解；
（2）根據(jù)動(dòng)能定理求出第一次到達(dá)B點(diǎn)的速度，結(jié)合牛頓第二定律求出細(xì)線的拉力，從而結(jié)合牛頓第三定律求出小球?qū)��?xì)線的拉力．
（3）擋板對(duì)小球做的功等于小球機(jī)械能的該變量，根據(jù)機(jī)械能的變化量求出擋板對(duì)小球做的功．通過(guò)假設(shè)法，結(jié)合幾何關(guān)系判斷小球是否會(huì)發(fā)生第二次撞擊擋板．

解答 解：（1）當(dāng)外力F垂直于繩子方向時(shí)，外力最小，
F_min=mgsinα．
（2）設(shè)小球第一次向左擺到B點(diǎn)前瞬間的速度為v，細(xì)線上的拉力為F，小球由A到B的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理得，
$mgL（1-cosα）=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
由牛頓第二定律得，$F-mg=m\frac{{v}^{2}}{L}$，
解得F=mg（3-2cosα），
由牛頓第三定理，對(duì)細(xì)線的拉力F′=F=mg（3-2cosα）．
（3）擋板對(duì)小球做的功等于小球機(jī)械能的該變量，
即W=E₂-E₁，
取小球在B點(diǎn)的重力勢(shì)能為零，
E₂=mgl（1-cosβ），E₁=mgl（1-cosα），
解得W=mgl（cosα-cosβ）．
判斷：小球會(huì)第二次撞擊擋板．
理由：假設(shè)小球擺到右側(cè)最高點(diǎn)時(shí)小球的位置為D，作圖幾何關(guān)系可以證明D點(diǎn)比C點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)C′位置高，即可說(shuō)明小球能第二次撞擊擋板．
答：（1）小球靜止在A處時(shí)，所受外力的最小值為mgsinα；
（2）小球第一次向左擺到B點(diǎn)前瞬間對(duì)細(xì)線的拉力大小為mg（3-2cosα）；
（3）小球與擋板第一次垂直撞擊過(guò)程中，擋板對(duì)小球做的功為mgl（cosα-cosβ）．小球會(huì)第二次撞擊擋板．理由：假設(shè)小球擺到右側(cè)最高點(diǎn)時(shí)小球的位置為D，作圖幾何關(guān)系可以證明D點(diǎn)比C點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)C′位置高，即可說(shuō)明小球能第二次撞擊擋板．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了共點(diǎn)力平衡條件、向心力公式以及動(dòng)能定理的直接應(yīng)用，要求同學(xué)們能正確分析小球的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況，注意求變力做功時(shí)，只能使用功能關(guān)系進(jìn)行求解，難度適中．