Question

3．如圖所示，豎直平面內有一直角坐標系，在y軸的右側存在無限大的、場強大小為E、水平向左的勻強電場，在y軸的左側同時存在一個垂直紙面向外、磁感應強度大小為B、水平寬度為a的勻強磁場．有一不計重力、帶正電、比荷為$\frac{q}{m}$的粒子由+x軸上某一位置無初速度釋放．
（1）若其恰好經(jīng)過磁場左邊界上P點（-a，$\frac{a}{2}$），求粒子射出磁場Ⅰ的速度v₁的大小；
（2）若其恰好經(jīng)過y軸上的Q點（0，$\frac{a}{2}$），求粒子從釋放開始第一次到達Q所用的時間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律，由洛倫茲力提供向心力，結合幾何關系，即可求解；
（2）畫出運動軌跡，粒子可能在磁場中經(jīng)過半個圓周到Q點，也可能經(jīng)過2個、3個、…、n個半圓到Q點，結合幾何關系得到半徑的通項，再根據(jù)牛頓第二定律列式求解．

解答 解：（1）如圖所示，由幾何關系可知：
${r}_{1}^{2}$=a²+（r₁-$\frac{a}{2}$）²；
可知，粒子在磁場中運動軌跡半徑r₁=$\frac{5a}{4}$；
由牛頓第二定律，可得：Bqv₁=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$
因此射出磁場的速度v₁=$\frac{5Bqa}{4m}$；
（2）粒子從釋放開始到第一次到達Q點，可能軌跡如下圖所示，
由幾何關系，有：n•2r₂=$\frac{a}{2}$，其中n=1，2，3，…
故r₂=$\frac{a}{4n}$
粒子在磁場中${r}_{2}=\frac{m{v}_{2}}{qB}$，T=$\frac{2πm}{qB}$
粒子在電場中勻加速直線運動${v}_{2}=\frac{Eq}{m}{t}_{1}$，
解得：${t}_{1}=\frac{Ba}{4nE}$
粒子在磁場中做勻速圓周運動，通過一個半圓的時間為$\frac{T}{2}$
從釋放開始一直第一次到達Q所用的時間$t=（2n-1）{t}_{1}+n\frac{T}{2}$
解得：t=n$\frac{πm}{Bq}+\frac{（2n-1）Ba}{4nE}$  其中n=1，2，3，…
答：（1）若其恰好經(jīng)過磁場左邊界上P點（-a，$\frac{a}{2}$），粒子射出磁場Ⅰ的速度v₁的大小為$\frac{5Bqa}{4m}$；
（2）若其恰好經(jīng)過y軸上的Q點（0，$\frac{a}{2}$），粒子從釋放開始第一次到達Q所用的時間為t=n$\frac{πm}{Bq}+\frac{（2n-1）Ba}{4nE}$ 其中n=1，2，3，…．

點評 本題關鍵是明確粒子在電場和磁場中的受力情況和運動情況，畫出運動軌跡，找出半徑，注意第二問要考慮多解．