Question

15．如圖（a）所示，半徑為R的光滑半圓軌道豎直固定放置，它剛好與傾角為37°的斜面底端B相接，直徑BC與水平面垂直．質(zhì)量為m的滑塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）從長(zhǎng)為L(zhǎng)（未知）的斜面頂端A點(diǎn)靜止滑下，由B點(diǎn)進(jìn)入半軸流軌道恰好通過(guò)最高點(diǎn)C．設(shè)滑塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ、涔塊與斜面頂端的距離為x，μ隨x的變化關(guān)系如圖（b）所示，重力加速度為g，不計(jì)滑塊經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)的能量損失，取sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）滑塊滑至斜面中點(diǎn)時(shí)的摩擦力大小f；
（2）滑塊滑至斜面底端B點(diǎn)時(shí)的速度大小v_B；
（3）斜面的長(zhǎng)L．

Answer 1

分析 （1）由圖示圖象求出動(dòng)摩擦因數(shù)，然后根據(jù)滑動(dòng)摩擦力公式求出滑動(dòng)摩擦力．
（2）由牛頓第二定律求出到達(dá)C點(diǎn)的速度，然后應(yīng)用動(dòng)能定理求出滑塊到達(dá)B點(diǎn)的速度．
（3）應(yīng)用動(dòng)能定理求出斜面的長(zhǎng)度．

解答 解：（1）由圖（b）所示圖象可知，滑塊到達(dá)斜面中點(diǎn)時(shí)：μ=0.5，
滑動(dòng)摩擦力：f=μmgcos37°=0.5×0.8mg=0.4mg；
（2）物塊到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律得：mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$，
從B到C過(guò)程，由動(dòng)能定理得：-mg•2R=$\frac{1}{2}$mv_C²-$\frac{1}{2}$mv_B²，
解得：v_B=$\sqrt{5gR}$；
（3）從A到B過(guò)程，摩擦力做功：W_f=-$\frac{0+μmgcos37°}{2}$×L=-0.4mgL，
由動(dòng)能定理得：mgLsin37°+W_f=$\frac{1}{2}$mv_B²-0，
解得：L=12.5R；
答：（1）滑塊滑至斜面中點(diǎn)時(shí)的摩擦力大小f為0.4mg；
（2）滑塊滑至斜面底端B點(diǎn)時(shí)的速度大小v_B為$\sqrt{5gR}$；
（3）斜面的長(zhǎng)L為12.5R．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了牛頓第二定律、動(dòng)能定理等規(guī)律，綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的能力要求較高，以及通過(guò)圖象求出摩擦力做功是本題的難點(diǎn)．