Question

4．如圖所示，質(zhì)量為5.0kg的小車以2.0m/s的速度在光滑的水平面上向左運(yùn)動(dòng)，小車上AD部分是表面粗糙的水平軌道，DC部分是$\frac{1}{4}$光滑圓弧軌道，整個(gè)軌道都是由絕緣材料制成的，小車所在空間內(nèi)有豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)和垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小E為50N/C，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B為2.0T．現(xiàn)有一質(zhì)量為2.0kg、帶負(fù)電且電荷量為0.10C的滑塊以10m/s向右滑入小車，當(dāng)滑塊運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)相對(duì)地面的速度為5m/s，計(jì)算結(jié)果保留兩位有效數(shù)字，求：
（1）滑塊從A到D的過程中，小車、滑塊組成的系統(tǒng)損失的機(jī)械能．
（2）如果滑塊剛過D點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為76N，求圓弧軌道的半徑r．
（3）當(dāng)滑塊通過D點(diǎn)時(shí)，立即撤去磁場(chǎng)，要使滑塊不沖出圓弧軌道，求此圓弧的最大半徑．

Answer 1

分析 （1）滑塊從A到D的過程中，小車、滑塊系統(tǒng)水平方向不受外力，水平方向動(dòng)量守恒，可求出滑塊到達(dá)D點(diǎn)時(shí)車的速度，系統(tǒng)損失的機(jī)械能等于系統(tǒng)動(dòng)能的減�。�
（2）滑塊通過D時(shí)受到重力、支持力、電場(chǎng)力和洛倫茲力，沿半徑方向的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第三定律說明壓力大小等于支持力大小，然后寫出動(dòng)力學(xué)方程即可求出軌道半徑；
（3）要使滑塊不沖出圓弧軌道，滑塊沿圓弧軌道上升到最大高度時(shí)，滑塊與小車具有共同速度v，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和能量的轉(zhuǎn)化與守恒定律求得結(jié)果．

解答 解：（1）設(shè)滑塊運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)的速度大小為v₁，小車在此時(shí)的速度大小為v₂，
滑塊從A運(yùn)動(dòng)到D的過程中系統(tǒng)動(dòng)量守恒，以向右為正方向，有：mv₀-Mv=mv₁+Mv₂
代入數(shù)據(jù)解得v₂=0
則小車跟滑塊組成的系統(tǒng)的初機(jī)械能${E}_{1}=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}+\frac{1}{2}M{v}_{1}^{2}$
小車跟滑塊組成的系統(tǒng)的末機(jī)械能${E}_{2}=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}+0$
代入數(shù)據(jù)解得：E₁=110J，E₂=25J
小車與滑塊組成的系統(tǒng)損失的機(jī)械能△E=E₁-E₂
代入數(shù)據(jù)解得：△E=85J
（2）設(shè)滑塊剛過D點(diǎn)時(shí)，受到軌道的支持力為N，則由牛頓第三定律可得N=76N
由牛頓第二定律可得$N-（mg+qE+Bq{v}_{1}）=m\frac{{v}^{2}}{r}$
代入數(shù)據(jù)解得：r=1m
（3）設(shè)滑塊沿圓弧軌道上升到最大高度時(shí)，滑塊與小車具有共同的速度v₃
則由動(dòng)量守恒定律可得mv₁=（M+m）v₃
代入數(shù)據(jù)解得：${v}_{3}=\frac{10}{7}m/s$
設(shè)圓弧軌道的最大半徑為R
則由能量守恒關(guān)系，有：$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}=\frac{1}{2}（M+m）{v}_{3}^{2}+（qE+mg）R$
代入數(shù)據(jù)解得：R=0.71m
答：（1）滑塊從A到D的過程中，小車、滑塊組成的系統(tǒng)損失的機(jī)械能為85J；
（2）如果滑塊剛過D點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為76N，圓弧軌道的半徑為1m；
（3）當(dāng)滑塊通過D點(diǎn)時(shí)，立即撤去磁場(chǎng)，要使滑塊不沖出圓弧軌道，此圓弧的最大半徑為0.71m．

點(diǎn)評(píng) 本題是系統(tǒng)動(dòng)量守恒和能量守恒的類型，尋找解題規(guī)律是關(guān)鍵．容易出錯(cuò)的地方，是不認(rèn)真分析滑塊運(yùn)動(dòng)過程，認(rèn)為滑塊剛到達(dá)D時(shí)車的速度就最大．
對(duì)于計(jì)算軌道半徑問題比較中規(guī)中矩，牢記指向圓心的合外力大小等于跟速度有關(guān)的向心力公式便可．
上升到最大高度需要思考什么時(shí)候最大高度，即豎直方向的速度為0，而物塊不能離開小車，即滑塊與小車的水平方向相同從而進(jìn)行解題．整體題目算經(jīng)典的曲面小車問題放在復(fù)合場(chǎng)中的處理．