Question

如圖所示．一水平傳送裝置有輪半徑為R=

1

π

m的主動(dòng)輪Q₁和從動(dòng)輪Q₂及傳送帶等構(gòu)成．兩輪軸心相距8m，輪與傳送帶不打滑．現(xiàn)用此裝置運(yùn)送一袋面粉（可視為質(zhì)點(diǎn)），已知這袋面粉與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.4，這袋面粉中的面粉可不斷地從袋中滲出．
（1）當(dāng)傳送帶以4m/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，將這袋面粉由左端Q₁正上方A點(diǎn)輕放在傳送帶上后，這袋面粉由A端運(yùn)送到Q₂正上方的B端所用的時(shí)間為多少？
（2）要想盡快將這袋面粉（初速度為零）由A端送到B端，傳送帶速度至少多大？
（3）由于面粉的滲漏，在運(yùn)送這袋面粉的過程中會(huì)在深色傳送帶上留下白色的面粉痕跡，這袋面粉（初速度為零）在傳送帶上留下的面粉痕跡最長(zhǎng)能有多長(zhǎng)？此時(shí)傳送帶的速度應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析：（1）面粉在傳送帶上先做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)速度達(dá)到傳送帶的速度時(shí)一起做勻速直線運(yùn)動(dòng)，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，求出面粉由A端運(yùn)送到Q₁正上方的B端所用的時(shí)間．
（2）要想時(shí)間最短，面粉袋應(yīng)一直向B端做加速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出傳送帶的最小速度，從而根據(jù)位移公式求出速度的最小值．
（3）傳送帶的速度越大，“痕跡”越長(zhǎng)．當(dāng)面粉的痕跡布滿整條傳送帶時(shí)，痕跡達(dá)到最長(zhǎng)．痕跡的長(zhǎng)度等于相對(duì)路程的大小，通過面粉袋的位移求出傳送帶的位移，通過時(shí)間求出主動(dòng)輪的最小速度，從而求出速度的最小值．

解答：解：（1）面粉袋與傳送帶相對(duì)運(yùn)動(dòng)過程中所受摩擦力f=?mg
根據(jù)牛頓第二定律：a=

f

m

=4m/s2
若傳送帶的速度v=4m/s，則面粉袋加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間 t₁=

v

a

=1s
在t₁時(shí)間內(nèi)的位移 s1=

1

2

at2=2m
其后以v=4m/s速度勻速運(yùn)動(dòng)  s₂=l_AB-s₁=vt₂
解得：t₂=1.5s    
所以運(yùn)動(dòng)總時(shí)間：t=t₁+t₂=2.5s                            
（2）要想時(shí)間最短，面粉袋應(yīng)一直向B端勻加速運(yùn)動(dòng)                      
由lAB=

1

2

at′2得t′=2s
此時(shí)傳送帶的速度v′=at′=8m/s
（3）傳送帶速度越大，“痕跡”越長(zhǎng)．
當(dāng)面粉的痕跡布滿整條傳送帶時(shí)，痕跡達(dá)到最長(zhǎng)．
即痕跡長(zhǎng)l=2l_AB+2πR=18m
在面粉袋由A端運(yùn)動(dòng)到B端的時(shí)間t'=2s內(nèi)痕跡達(dá)到最長(zhǎng)，傳送帶運(yùn)動(dòng)的距離s≥l+l_AB=26m
則傳送帶的速度v=

s

t′

≥13m/s
答：
（1）這袋面粉由A端運(yùn)送到Q₁正上方的B端所用的時(shí)間為2.5s．
（2）傳送帶速度至少為8m/s．
（3）這袋面粉在傳送帶上留下的痕跡最長(zhǎng)能有18.0m，此時(shí)傳送帶的速度應(yīng)滿足應(yīng)v≥13m/s．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵理清面粉袋的運(yùn)動(dòng)情況，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解．