Question

如圖所示為一種獲得高能粒子的裝置．環(huán)形區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向外、大小可調(diào)節(jié)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．質(zhì)量為m、電量為+q的粒子在環(huán)中做半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)．A、B為兩塊中心開有小孔的極板．原來電勢(shì)都為零，每當(dāng)粒子飛經(jīng)A板時(shí)，A板電勢(shì)升高為+U，B板電勢(shì)仍保持為零，粒子在兩板間電場(chǎng)中得到加速．每當(dāng)粒子離開B板時(shí)，A板電勢(shì)又降為零．粒子在電場(chǎng)一次次加速下動(dòng)能不斷增大，而繞行半徑不變．
（1）設(shè)t=0時(shí)，粒子靜止在A板小孔處，在電場(chǎng)作用下加速．求粒子第一次穿過B板時(shí)速度的大小v₁；
（2）為使粒子始終保持在半徑為R的圓軌道上運(yùn)動(dòng)，磁場(chǎng)必須周期性遞增．求粒子繞行第n圈時(shí)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B_n；
（3）求粒子繞行n圈所需的總時(shí)間t_n總（設(shè)極板間距離遠(yuǎn)小于R，粒子在A、B極板間運(yùn)動(dòng)的時(shí)間可忽略不計(jì)）．

Answer 1

分析：（1）由題意可知，每加速一次，粒子的能量增加qU，根據(jù)動(dòng)能定理求解粒子第一次穿過B板時(shí)速度的大小v₁；
（2）粒子的動(dòng)能逐漸增加，速度就逐漸增加，由能量可表示出速度，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律即可求出第n圈時(shí)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B_n；．
（3）每圈的半徑?jīng)]有發(fā)生變化，由周長(zhǎng)和每圈的速度即可求出每圈的時(shí)間，然后相累加，即可求得總時(shí)間t_n總．

解答：解：（1）粒子第一次加速過程，根據(jù)動(dòng)能定理得
    qU=

1

2

m

v

2 1

解得，v₁=

2qU m

（2）粒子繞行第n圈時(shí)，nqU=

1

2

m

v

2 n

　　　　
粒子受到的洛倫茲力提供向心力，qv_nB_n=m

v 2 n

R

解得：B_n=

1

R

2nmU q

（3）粒子運(yùn)動(dòng)的周期表達(dá)式為：T_n=

2πR

vn

=

2πm

qBn

　　　　　　　　　　　　　　　　　
粒子繞行第1圈，所用時(shí)間為t₁=

2πm

qB1

，B₁=

1

R

2mU q

粒子繞行第2圈，所用時(shí)間為t₂=

2πm

qB2

，B₂=

1

R

2×2mU q

粒子繞行第3圈，所用時(shí)間為t₃=

2πm

qB3

，B₃=

1

R

2×3mU q

…
以此類推，粒子繞行第n圈，所用時(shí)間為　t_n=

2πm

qBn

，B_n=

1

R

2nmU q

　　　
解得：t_n總=t₁+t₂+t₃+…+t_n=2πR

m 2qU

（1+

1

2

+

1

3

…+

1

n

）
答：（1）粒子第一次穿過B板時(shí)速度的大小v₁是

2qU m

．
（2）粒子繞行第n圈時(shí)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B_n是

1

R

2nmU q

．
（3）粒子繞行n圈所需的總時(shí)間t_n總是2πR

m 2qU

（1+

1

2

+

1

3

…+

1

n

）．

點(diǎn)評(píng)：粒子加速器是利用磁場(chǎng)的偏轉(zhuǎn)，使電場(chǎng)能重復(fù)對(duì)粒子加速，粒子在加速器內(nèi)旋轉(zhuǎn)時(shí)半徑是不變化的，所以粒子加速器所加的磁場(chǎng)時(shí)要發(fā)生變化．速度越來越大，周期越來越小．解決此類問題，常用到能量的轉(zhuǎn)化與守恒、粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)半徑和周期公式．