Question

20．如圖所示，光滑固定的AB規(guī)帶由半徑r₁=0.6m和半徑為r₂=0.3m的兩段圓弧相切連接，其中AC弧對應(yīng)的圓心角為30°，A點(diǎn)與圓弧的圓心O₁等高，CB弧對應(yīng)的圓心角為60°，位于光滑水平地面上的木板左端固定一長度不計(jì)的輕質(zhì)彈簧，木板緊靠原話軌道放置，其上表面與圓弧軌道相切于B點(diǎn)，現(xiàn)將一質(zhì)量為m=2kg的小物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）．從圓弧軌道的最高點(diǎn)A由靜止滑下，經(jīng)最低點(diǎn)B后滑到木板上，物塊先將彈簧壓縮至最短位置，彈簧后將物塊重新彈開．物塊恰好回到木板的右端而不掉下來，已知木板質(zhì)量M=3kg，物塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.1，取g=10m/s²，求
（1）小物塊經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)對圓弧軌道壓力的大小；
（2）木板的長度；
（3）此過程中彈簧具有的最大彈性勢能．

Answer 1

分析 （1）從A到B由動(dòng)能定理求的到達(dá)B點(diǎn)的速度，在B點(diǎn)根據(jù)牛頓第二定律求的作用力
（2）根據(jù)動(dòng)量守恒求的達(dá)到的共同速度，根據(jù)動(dòng)能定理求的木板長度；
（3）向左達(dá)到共同速度時(shí)，根據(jù)動(dòng)能定理求的彈簧的彈性勢能

解答 解：（1）從A到B由動(dòng)能定理可得：
$mg{R}_{1}sin30°+{mgR}_{2}（1-cos60°）=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：v=3m/s
在B點(diǎn)由牛頓第二定律可得：${F}_{N}-mg=m\frac{{v}^{2}}{{R}_{2}}$
代入數(shù)據(jù)解得：F_N=80N
由牛頓第三定律求的對軌道的壓力為80N
（2）當(dāng)物快滑到木板上后，最終兩者速度為v′，有動(dòng)量定理可得：mv=（m+M）v′
解得：v′=1.2m/s
整個(gè)過程由動(dòng)能定理可得：
$-2μmgx=\frac{1}{2}（M+m）v{′}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：x=1.35m
（3）在向左到達(dá)共同速度時(shí)根據(jù)動(dòng)能定理可得：
-${E}_{P}-μmgx=\frac{1}{2}（m+M）v{′}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：E_P=2.7J
答：（1）小物塊經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)對圓弧軌道壓力的大小為80N；
（2）木板的長度為1.35m；
（3）此過程中彈簧具有的最大彈性勢能為2.7J

點(diǎn)評 本題主要考查了動(dòng)能定理和動(dòng)量定理的靈活運(yùn)用，在第二問和第三問中，達(dá)到的共同速度是相同的，是解題的關(guān)鍵