Question

如圖所示，在豎直平面內(nèi)固定有兩個(gè)很靠近的同心圓形軌道，外圓ABCD的內(nèi)表面光滑，內(nèi)圓A′B′C′D′的上半部分B′C′D′粗糙，下半部分B′A′D′光滑．一質(zhì)量m=0.1kg的小球從軌道的最低點(diǎn)A，以初速度v₀向右運(yùn)動，球的尺寸略小于兩圓間距，球運(yùn)動的半徑R=0.2m，取g=10m/s²．
（1）若要使小球始終緊貼外圓做完整的圓周運(yùn)動，初速度v₀至少為多少？
（2）若v₀=3m/s，經(jīng)過一段時(shí)間小球到達(dá)最高點(diǎn)，內(nèi)軌道對小球的支持力N=1N，則小球在這段時(shí)間內(nèi)克服摩擦力做的功是多少？
（3）若v₀=3m/s，經(jīng)過足夠長的時(shí)間后，小球經(jīng)過最低點(diǎn)A時(shí)受到的支持力為多少？小球在整個(gè)運(yùn)動過程中減少的機(jī)械能是多少？

Answer 1

分析：（1）緊貼外圓做圓周運(yùn)動，在最高點(diǎn)的臨界情況是重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律結(jié)合機(jī)械能守恒定律求出初速度的最小值．
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出最高點(diǎn)的速度大小，根據(jù)動能定理求出克服摩擦力做功的大小．
（3）經(jīng)足夠長時(shí)間后，小球在下半圓軌道內(nèi)做往復(fù)運(yùn)動，根據(jù)動能定理和牛頓第二定律求出最低點(diǎn)小球所受的支持力大小，根據(jù)能量守恒求出損失的機(jī)械能．

解答：解：（1）設(shè)此情形下小球到達(dá)最高點(diǎn)的最小速度為v_C，則有：
mg=

m v 2 c

R

     

1

2

m

v

2 0

=

1

2

m

v

2 c

+2mgR
代入數(shù)據(jù)，解得：v₀=

10

m/s  
（2）設(shè)此時(shí)小球到達(dá)最高點(diǎn)的速度為v_c′，克服摩擦力做的功為W，則：
mg-N=

mvc′2

R

     -2mgR-W=

1

2

mv

′

2 c

-

1

2

m

v

2 0

代入數(shù)據(jù)，解得：W=0.05J 
（3）經(jīng)足夠長時(shí)間后，小球在下半圓軌道內(nèi)做往復(fù)運(yùn)動，設(shè)小球經(jīng)過最低點(diǎn)的速度為v_A，受到的支持力為N_A，則有：
mgR=

1

2

m

v

2 A

       NA-mg=

m v 2 A

R

代入數(shù)據(jù)，解得：N_A=3N  
設(shè)小球在整個(gè)運(yùn)動過程中減少的機(jī)械能為△E，由功能關(guān)系有
△E=

1

2

m

v

2 0

-mgR   
代入數(shù)據(jù)，解得：△E=0.25J
答：（1）要使小球始終緊貼外圓做完整的圓周運(yùn)動，初速度v₀至少

10

m/s．
（2）小球在這段時(shí)間內(nèi)克服摩擦力做的功是0.05J．
（3）小球經(jīng)過最低點(diǎn)A時(shí)受到的支持力為3N，小球在整個(gè)運(yùn)動過程中減少的機(jī)械能是0.25J．

點(diǎn)評：本題綜合考查了動能定理、牛頓第二定律和機(jī)械能守恒定律，綜合性較強(qiáng)，關(guān)鍵是理清運(yùn)動過程，抓住臨界狀態(tài)，運(yùn)用合適的規(guī)律進(jìn)行求解