Question

3．如圖所示為放置在豎直平面內(nèi)游戲滑軌的模擬裝置，滑軌由四部分粗細均勻的金屬桿組成，其中傾斜直軌AB與水平直軌CD長均為L=3m，圓弧形軌道APD和BQC均光滑，BQC的半徑為r=1m，APD的半徑為R，AB、CD與兩圓弧形軌道相切，O₂A、O₁B與豎直方向的夾角均為θ=37°．現(xiàn)有一質(zhì)量為m=1kg的小球穿在滑軌上，以E_k0的初動能從B點開始沿AB向上運動，小球與兩段直軌道間的動摩擦因數(shù)均為μ=$\frac{1}{3}$，設(shè)小球經(jīng)過軌道連接處均無能量損失．（g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，sin18.5°=0.32，cos18.5°=0.95，tan18.5°=$\frac{1}{3}$，cot18.5°=3）求：
（1）要使小球完成一周運動回到B點，初動能E_K0至少多大？
（2）小球第二次到達D點時的動能；
（3）小球在CD段上運動的總路程．

Answer 1

分析 （1）要使小球能夠向上運動并回到B點，有兩個臨界條件的要求：一是要使小球能夠通過圓弧APD的最高點，二是通過了圓弧APD的最高點后還能夠再次到達B點．根據(jù)能量守恒分別求出小球恰好通過圓弧APD的最高點以及恰好到達B點時的初動能，比較兩種情況下的初動能，從而得出初動能E_K0的最小值．
（2）根據(jù)動能定理求出小球從B點出發(fā)又回到B點時的動能，根據(jù)動能定理判斷其能上升的最大高度，若不能上滑到最高點，由于重力的分力大于滑動摩擦力，小球會下滑，求出小球在AB桿上摩擦產(chǎn)生的熱量．根據(jù)能量守恒求出第二次經(jīng)過D點的動能．
（3）通過第二問解答知小球能夠第二次到達D點，根據(jù)能量守恒定律討論小球能否第二次通過D點返回后上升到B點，從而確定小球的運動情況，最后根據(jù)動能定理求出小球在CD段上運動的總路程．

解答 解：（1）由幾何關(guān)系可知：R=Ltan18.5°+r=2m                          
根據(jù)動能定理得：E_k0=mgR（1-cosθ）+mgLsinθ+μmgLcosθ             
代入數(shù)據(jù)解得：E_k0=30J                           
（2）小球第一次回到B點時的動能為：
E_kB=mg•2R-mgr（1+cosθ）-μmgL=12J，
小球沿AB向上運動到最高點，距離B點為s，則有：E_kB=μmgscosθ+mgssinθ，
代入數(shù)據(jù)解得：s=$\frac{18}{13}$m=1.38m；
小球繼續(xù)向下運動，當小球第二次到達D點時動能為：E_KD=mgr（1+cosθ）+mgssinθ-μmgscosθ-mgLcosθ=10（1+0.6）+10×1.38×0.8-$\frac{1}{3}$×10×0.8-10×3×0.8=12.6J       
（3）小球第二次到D點后還剩12.6J的能量，沿DP弧上升后再返回DC段，
到C點只剩下2.6J的能量．因此小球無法繼續(xù)上升到B點，滑到BQC某處后開始下滑，
之后受摩擦力作用，小球最終停在CD上的某點．
由動能定理：E_kD=μmgs₁
可得小球在CD上所通過的路程為：s=3.78m         
小球通過CD段的總路程為：S_總=2L+s=2×3+1.38=9.78m            
答：（1）要使小球能夠通過弧形軌道APD的最高點，初動能E_K0至少為30J；
（2）小球第二次到達D點時的動能12.6J；
（3）小球在CD段上運動的總路程為9.78m．

點評 本題過程較復(fù)雜，關(guān)鍵是理清過程，搞清運動規(guī)律，合適地選擇研究的過程，運用動能定理和能量守恒定律進行解題．