Question

如圖所示，直角坐標(biāo)系xOy位于豎直平面內(nèi)，在-

3

m≤x≤0的區(qū)域內(nèi)有磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=4.0x10^-4T、方向垂直于紙面向里的條形勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其左邊界與x軸交于P點(diǎn)；在x≥0的區(qū)域內(nèi)有電場(chǎng)強(qiáng)度大小E=4N/C、方向沿y軸正方向的條形勻強(qiáng)電場(chǎng)，其寬度d=2m．一質(zhì)量m=6.4x10^-27kg、電荷量q=-3.2×10^-19C的帶電粒子從P點(diǎn)以速度v=4×10⁴m/s沿與x軸正方向成α=60°角射入磁場(chǎng)，經(jīng)電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)最終通過(guò)x軸上的Q點(diǎn)（圖中未標(biāo)出），不計(jì)粒子重力．求：
（1）帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t．
（2）Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)x．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑公式和周期公式求出粒子做圓周運(yùn)動(dòng)半徑和周期大小，通過(guò)幾何關(guān)系確定做圓周運(yùn)動(dòng)的圓形角，從而求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．
（3）由幾何關(guān)系得，粒子離開磁場(chǎng)后，垂直于電場(chǎng)線進(jìn)入電場(chǎng)，做類平拋運(yùn)動(dòng)．出電場(chǎng)后做勻速直線運(yùn)動(dòng)，將該運(yùn)動(dòng)分解為x方向和y方向，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

解答：解：（1）帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律有：
qvB=m

v2

r

．
解得：r=2m
如圖所示，過(guò)P點(diǎn)做v的垂線交y軸于O₁點(diǎn)，由幾何關(guān)系得：
PO1=

PO

sinα

=2m
可見，PO₁=r，所以，O₁為粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心．
軌跡交y軸于C點(diǎn)，圓心角為α=60°，所以，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：
t=

α

360°

T
其中：T=

2πm

qB

解得：t=5.23×10^-5s
（2）帶電粒子離開磁場(chǎng)后，垂直于電場(chǎng)線進(jìn)入電場(chǎng)，做類平拋運(yùn)動(dòng)．
粒子在電場(chǎng)中的加速度為：a=

qE

m

=2.0×108m/s2
在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t1=

d

v

=5.0×10-5s
剛離開電場(chǎng)的瞬間，粒子沿y方向的分速度和位移分別為：
vy=at1=1.0×104m/s
y1=

1

2

at12=0.25m．
粒子射出電場(chǎng)后，做勻速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)又經(jīng)時(shí)間t₂到達(dá)x軸上Q點(diǎn)，則：
t2=

yoc-y1

vy

=

(r-rcosα)-y1

vy

=7.5×10-5s
由幾何關(guān)系可得，Q點(diǎn)的x坐標(biāo)為：x=d+vt₂
代入數(shù)據(jù)解得：x=5.0m．
答：（1）帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=5.23×10^-5s．
（2）Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)x為5.0m．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵理清帶電粒子在整個(gè)過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)情況，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解，本題對(duì)數(shù)學(xué)幾何的能力要求較高．