Question

質(zhì)量均為m的小球B與小球C之間用一根輕質(zhì)彈簧連接．現(xiàn)把它們放置在豎直固定的內(nèi)壁光滑的直圓筒內(nèi)，平衡時(shí)彈簧的壓縮量為x₀，如圖所示，設(shè)彈簧的彈性勢(shì)能與彈簧的形變量（即伸長(zhǎng)量或縮短量）的平方成正比．小球A從小球B的正上方距離為3x₀的P處自由落下，落在小球B上立刻與小球B粘連在一起向下運(yùn)動(dòng)，它們到達(dá)最低點(diǎn)后又向上運(yùn)動(dòng)，已知小球A的質(zhì)量也為m時(shí)，它們恰能回到O點(diǎn)（設(shè)3個(gè)小球直徑相等，且遠(yuǎn)小于x₀，略小于直圓筒內(nèi)徑），求：
（1）整個(gè)系統(tǒng)在上述過程中機(jī)械能是否守恒；
（2）求彈簧初始時(shí)刻的彈性勢(shì)能；
（3）小球A與小球B一起向下運(yùn)動(dòng)時(shí)速度的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)系統(tǒng)機(jī)械能守恒的條件判斷在各個(gè)過程中是否守恒即可；
（2）彈簧從原長(zhǎng)壓縮到x₀的過程中，彈簧力與位移成線性關(guān)系，求出克服彈簧力的功，最大彈力等于物體的重力，且克服彈簧力的功等于彈簧增加的彈性勢(shì)能，所以，彈簧被壓縮后即初始時(shí)刻的彈性勢(shì)能；
（3）當(dāng)彈簧的彈力等于A、B兩球的總重力時(shí)，小球A、B的速度最大，根據(jù)力的平衡求出兩球下降的距離，再對(duì)系統(tǒng)運(yùn)用機(jī)械能守恒定律，求出最大速度．

解答：解：（1）整個(gè)系統(tǒng)在A下落到與B碰撞前，只有重力做功，機(jī)械能守恒；AB碰撞過程中，系統(tǒng)機(jī)械能不守恒；AB碰撞后至回到O點(diǎn)過程中，機(jī)械能守恒．
（2）彈簧從原長(zhǎng)壓縮到x₀的過程中，彈簧力與位移成線性關(guān)系，所以，克服彈簧力的功可以由平均力求出：W=

Fm

2

x0
最大彈力等于物體的重力，且克服彈簧力的功等于彈簧增加的彈性勢(shì)能，所以，彈簧被壓縮后即廚師時(shí)刻的彈性勢(shì)能E_p=W=

1

2

mgx0
（3）小球B處于平衡狀態(tài)時(shí)．有（設(shè)k為彈簧的勁度系數(shù)）  kx₀=mg
則小球A與小球B一起向下運(yùn)動(dòng)到所受彈力kx與重力2mg平衡時(shí)
有速度最大值v_m，即kx=2mg    x=2x₀    
故此時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能為4E_P        
由能量守恒得：
E_p+

1

2

（2m）

v

2 1

+2mgx₀=

1

2

(2m)

v

2 m

+4E_p
所以：v_m=

2gx0

答：（1）不守恒．小球A自由落下過程，機(jī)械能守恒；小球A與小球B碰撞過程機(jī)械能有損失；一起向下運(yùn)動(dòng)，到達(dá)最低點(diǎn)后又向上運(yùn)動(dòng)，機(jī)械能守恒．
（2）彈簧初始時(shí)刻的彈性勢(shì)能為

1

2

mgx0
（3）小球A與小球B一起向下運(yùn)動(dòng)時(shí)速度的最大值為

2gx0

點(diǎn)評(píng)：本題綜合運(yùn)用了動(dòng)能定理，動(dòng)量守恒定律、機(jī)械能守恒定律，綜合性較強(qiáng)，關(guān)鍵是選擇好研究的過程，運(yùn)用合適的規(guī)律列式求解．