Question

（2011?四川模擬）如圖所示，兩平行的、間距為d的光滑金屬導(dǎo)軌b₁b₂b₃b₄、c₁c₂c₃c₄分別固定在豎直平面內(nèi)，整個(gè)導(dǎo)軌平滑連接，b₂b₃、c₂c₃位于同一水平面（規(guī)定該水平面的重力勢(shì)能為零），其間有一邊界為b₂b₃c₃c₂的、方向豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，導(dǎo)軌兩端均連有電阻為R的白熾燈泡．一長(zhǎng)為d的金屬桿PN與兩導(dǎo)軌接觸良好，其質(zhì)量為m、電阻為

1

4

R．若金屬桿從導(dǎo)軌左側(cè)某一位置開始以初速度υ₀滑下，通過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域后，再沿導(dǎo)軌右側(cè)上滑至其初始位置高度一半時(shí)速度恰為零，此后金屬桿做往復(fù)運(yùn)動(dòng)．金屬桿第一次通過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域的過(guò)程中，每個(gè)燈泡產(chǎn)生的熱量為Q，重力加速度為g，除金屬桿和燈泡外其余部分的電阻不計(jì)．求：
（1）金屬桿第一次通過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域的過(guò)程中損失的機(jī)械能．
（2）金屬桿初始位置的高度．
（3）金屬桿第一次通過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域的過(guò)程中加速度的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由于方向豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)位于水平導(dǎo)軌部分，所以金屬桿第一次通過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域的過(guò)程中損失的機(jī)械能具體說(shuō)是動(dòng)能轉(zhuǎn)化為回路的電能，而回路的電能最終消耗在兩個(gè)燈泡和金屬桿的電阻上．易錯(cuò)點(diǎn)就是忽視金屬桿有電阻

1

4

R，設(shè)通過(guò)每一個(gè)燈泡的電流有效值I，則回路總電流即通過(guò)金屬桿的電流有效值為2I，金屬桿第一次通過(guò)磁場(chǎng)的時(shí)間為t，由于每一個(gè)燈泡產(chǎn)生的電熱Q=I²Rt，則金屬桿產(chǎn)生Q′=(2I)2

R

4

t=I2Rt=Q，根據(jù)能量守恒金屬桿第一次通過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域的過(guò)程中損失的機(jī)械能△E=3Q．
（2）第二小題解決思路是利用金屬桿在水平導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)時(shí)動(dòng)能轉(zhuǎn)化為回路的電熱．設(shè)金屬桿第一次進(jìn)、出磁場(chǎng)的初、末速度為v₁、v₂，而金屬桿的初動(dòng)能（從下落到進(jìn)入磁場(chǎng)前金屬桿機(jī)械能守恒

1

2

m

v

2 0

+mgh=

1

2

m

v

2 1

）、末動(dòng)能（從出磁場(chǎng)到上升到另一側(cè)最高點(diǎn)

1

2

h金屬桿機(jī)械能守恒有

1

2

m

v

2 2

=mg

h

2

）均與初始位置的高度h有關(guān)，從而列出一個(gè)關(guān)于h的方程：(

1

2

mv02+mgh)-   mg

h

2

=3Q求解；
（3）第三小題由金屬桿的切割速度v確定動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)E=Bdv，金屬棒充當(dāng)電源，內(nèi)阻為

R

4

，外電阻是兩個(gè)燈泡電阻并聯(lián)

R

2

，回路總電流I=

E

R 2 + R 4

=

Bdv

3R 4

=

4Bdv

3R

通過(guò)金屬桿，確定安培力大小F_安=IdB=

4Bdv

3R

dB=

4B2d2v

3R

，而安培力方向與運(yùn)動(dòng)方向向反，所以金屬桿做減速運(yùn)動(dòng)，安培力隨著速度的減少而減小，加速度減小，所以進(jìn)入金屬桿進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)加速度最大，出磁場(chǎng)時(shí)加速度最小，由牛頓第二定律確定加速度大小范圍，

解答：解：（1）設(shè)金屬桿第一次通過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域的過(guò)程中損失的機(jī)械能為△E，
燈泡的并聯(lián)電阻為：R₁=

1

2

R　　　　　　　　　　　　①
回路總電阻：R₂=

1

4

R+

1

2

R=

3

4

R　　　　　　　　　②
由焦耳定律，得：

2Q

R1

=

△E

R2

　　　　　　　　　 �、�
由①②③，得：△E=3Q                            ④
金屬桿第一次通過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域的過(guò)程中損失的機(jī)械能為3Q
（2）設(shè)金屬桿第一次進(jìn)、出磁場(chǎng)區(qū)域的速度分別為v₁，v₂，金屬桿開始下滑的高度為h，
由能量的轉(zhuǎn)化與守恒定律有：△E=

1

2

m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 2

               ⑤
由機(jī)械能守恒定律有：

1

2

m

v

2 0

+mgh=

1

2

m

v

2 1

                 ⑥
                     

1

2

m

v

2 2

=

1

2

mgh                        ⑦
由④⑤⑥⑦，得：h=

6Q-m v 2 0

mg

　　　　　　　　　　　　　　　�、�
金屬桿初始位置的高度

6Q-m v 2 0

mg

（3）設(shè)金屬桿第一次進(jìn)、出磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的加速度分別為a₁，a₂，
當(dāng)金屬桿剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)為：E₁=Bdv₁ 
回流電流：I₁=

E1

R2

金屬桿受到的安培力為F₁=BI₁d
由牛頓第二定律有：F₁=ma₁
由②⑥⑧及以上四式，得：a₁=

4d2B2

3mR

12Q-m v 2 0 m

同理可得：a₂=

4d2B2

3mR

6Q-m v 2 0 m

金屬桿第一次通過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域的過(guò)程中加速度的取值范圍：

4d2B2

3mR

12Q-m v 2 0 m

≥a≥

4d2B2

3mR

6Q-m v 2 0 m

點(diǎn)評(píng)：本題的第一小題，易錯(cuò)點(diǎn)是忽視金屬桿的電阻產(chǎn)熱．對(duì)于這類問(wèn)題，理清解題的思路很重要，本題屬于易錯(cuò)題．