Question

14．科學家在地球軌道外側(cè)發(fā)現(xiàn)了一顆繞太陽運行的小行星，小行星的公轉(zhuǎn)軌道與地球的公轉(zhuǎn)軌道平面重合且運行方向相同，經(jīng)過觀察，該小行星相鄰兩次與地球相距最近的時間間隔為t，已知地球繞太陽公轉(zhuǎn)半徑為R，周期為T，設(shè)地球的公轉(zhuǎn)軌道和小行星的公轉(zhuǎn)軌道都是圓軌道，不考慮地球與小行星之間的作用力，求小行星與地球的最近距離．

Answer 1

分析 該小行星每隔t時間與地球相遇一次，根據(jù)△ω•t=2π列式求解小行星周期；小行星與地球的最近距離等于兩者的軌道半徑之差．

解答 解：設(shè)小行星運行周期為T₁，根據(jù)題意，有：
$\frac{2π}{T}$t-$\frac{2π}{{T}_{1}}$t=2π；
對地球：
$\frac{Gmm}{{R}^{2}}$=m（$\frac{2π}{T}$）²R；
對小行星：
$\frac{GM{m}_{1}}{{R}_{1}^{2}}$=m₁（$\frac{2π}{{T}_{1}}$）²R₁；
故R₁=$\root{3}{\frac{{t}^{2}}{（t-T）^{2}}}$R；
故小行星與地球最近距離S=R₁-R=（$\root{3}{\frac{{t}^{2}}{{（t-T）}^{2}}}$-1）R；
答：小行星與地球的最近距離為（$\root{3}{\frac{{t}^{2}}{{（t-T）}^{2}}}$-1）R．

點評 本題關(guān)鍵根據(jù)相對運動知識求解出小行星的周期，然后根據(jù)萬有引力提供向心力列式求解，不難．