Question

（2012?上海模擬）如圖所示，一水平放置的氣缸，由截面積不同的兩圓筒連接而成．活塞A、B用一長為3l的剛性細(xì)桿連接，它們可以在筒內(nèi)無摩擦地沿水平方向左右滑動(dòng)．A、B的截面積分別為S_A=2S₀、S_B=S₀．A、B之間封閉著一定質(zhì)量的理想氣體．兩活塞外側(cè)（A的左方和B的右方）都是大氣，大氣壓強(qiáng)始終保持為p₀．活塞B的中心連一不能伸長的細(xì)線，細(xì)線的另一端固定在墻上．當(dāng)氣缸內(nèi)氣體溫度為T₁=T₀，活塞A、B的平衡位置如圖所示，此時(shí)細(xì)線中的張力為F₁=0.2p₀S₀．（答案用已知量S₀、p₀、T₀表示）
（1）現(xiàn)使氣缸內(nèi)氣體溫度由初始溫度T₁緩慢下降至T₂，T₂為多少時(shí)活塞開始向右移動(dòng)？
（2）繼續(xù)使氣缸內(nèi)氣體溫度緩慢下降至T₃，T₃為多少時(shí)活塞A剛剛右移到兩圓筒聯(lián)接處？
（3）活塞A移到兩圓筒聯(lián)接處之后，維持氣體溫度T₃不變，另外對B施加一個(gè)水平向左的推力，將兩活塞慢慢推向左方，直到細(xì)線拉力重新變?yōu)镕₁．求此時(shí)的外加推力F₂是多大．

Answer 1

分析：（1）利用氣態(tài)方程解題關(guān)鍵是確定狀態(tài)，明確狀態(tài)參量，根據(jù)活塞處于平衡狀態(tài)，對其進(jìn)行受力分析，可求出初始狀態(tài)的壓強(qiáng)，活塞開始移動(dòng)時(shí)，細(xì)線上的作用力剛好為零，這是活塞移動(dòng)的臨界狀態(tài)．
（2）繼續(xù)使氣缸內(nèi)氣體溫度下降時(shí)，被封閉氣體壓強(qiáng)不變，氣體作等壓變化．
（3）根據(jù)活塞處于平衡狀態(tài)，解出此時(shí)被封閉氣體壓強(qiáng)，直接根據(jù)等溫變化氣態(tài)方程可解出結(jié)果．

解答：解：（1）設(shè)氣缸內(nèi)氣體壓強(qiáng)為p，F(xiàn)為細(xì)線中的張力，則活塞A、B及細(xì)桿這個(gè)整體的平衡條件為
   p₀S_A-p₁S_A+p₁S_B-p₀S_B+F₁=0，
解得p₁=p₀+

F1

SA-SB

       ①
對于初始狀態(tài)，F(xiàn)₁=0.2p₀S₀，
代入①式，就得到氣缸中氣體的初始?jí)簭?qiáng)p₁=1.2p₀
由①式看出，只要?dú)怏w壓強(qiáng)p₁＞p₀，細(xì)線就會(huì)拉直且有拉力，于是活塞不會(huì)移動(dòng)．使氣缸內(nèi)氣體溫度降低是等容降溫過程，當(dāng)溫度下降使壓強(qiáng)降到p₀時(shí)，細(xì)線拉力變?yōu)榱悖�再降溫時(shí)活塞開始向右移，設(shè)此時(shí)溫度為T₂，壓強(qiáng)p₂=p₀．有
  

T2

T1

=

p0

p1

，②
得  T₂=

5

6

T₀   ③
（2）再降溫，細(xì)線松了，要平衡必有氣體壓強(qiáng)p=p₀．是等壓降溫過程，活塞右移、體積相應(yīng)減小，當(dāng)A到達(dá)兩圓筒聯(lián)接處時(shí)，溫度為T₃，
由

V2

T2

=

V3

T3

     
即 

T3

T2

=

3lSB

2lSA+lSB

         ④
得    T₃=

1

2

T₀               ⑤
（3）維持T₃不變，向左推活塞，是等溫過程，最后壓強(qiáng)為p₄．有
  p₃V₃=p₄V₄   
即

p4

p3

=

3lSB

2lSA+lSB

            ⑥
推力F₂向左，由力的平衡條件得   p₀S_A-p₄S_A+p₄S_B-p₀S_B+F₁-F₂=0   ⑦
解得F₂=0.6p₀S₀               ⑧
答：
（1）現(xiàn)使氣缸內(nèi)氣體溫度由初始溫度T₁緩慢下降至T₂，T₂為

5

6

T₀時(shí)活塞開始向右移動(dòng)．
（2）繼續(xù)使氣缸內(nèi)氣體溫度緩慢下降至T₃，T₃為

1

2

T₀時(shí)活塞A剛剛右移到兩圓筒聯(lián)接處．
（3）此時(shí)的外加推力F₂是0.6p₀S₀．

點(diǎn)評：利用氣態(tài)方程解題時(shí)要明確氣體的狀態(tài)，根據(jù)力學(xué)知識(shí)求壓強(qiáng)是關(guān)鍵，并求出各個(gè)狀態(tài)的溫度、體積然后列氣體狀態(tài)方程即可求解．