Question

5．如圖所示，在直角坐標(biāo)系的第一、二象限中存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E，在第三、四象限中存在著寬度未知的垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，x軸是其上邊界，下邊界與x軸平行的虛線PQ，一質(zhì)量為m，帶電量為+q的粒子（不計(jì)重力），從y軸上（0，y₀）位置以初速度v₀沿x軸正方向射入勻強(qiáng)電場(chǎng)．
（1）求粒子第一次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度的大��；
（2）若要使從y軸上（0，y₀）位置以大小不同的初速度沿x軸正方向射入電場(chǎng)的粒子都能經(jīng)磁場(chǎng)返回電場(chǎng)，求磁場(chǎng)的最小寬度．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)電場(chǎng)力做功，由動(dòng)能定理求解；
（2）求得粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的速度大小及方向，由左手定則及幾何關(guān)系求得邊界寬度與半徑的關(guān)系；再由洛倫茲力作向心力即可求得半徑，進(jìn)而求得寬度．

解答 解：（1）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，只有電場(chǎng)力作用功；
設(shè)粒子第一次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度大小為v，則由動(dòng)能定理可得$qE{y}_{0}=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$；
所以，$v=\sqrt{\frac{2qE{y}_{0}}{m}+{{v}_{0}}^{2}}$；
（2）粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力作向心力，所以有$Bvq=\frac{m{v}^{2}}{R}$，所以，$R=\frac{mv}{Bq}=\frac{m}{Bq}\sqrt{\frac{2qE{y}_{0}}{m}+{{v}_{0}}^{2}}$；
設(shè)v與x軸正方向成α角，則$cosα=\frac{{v}_{0}}{v}$，如圖所示，
，
則粒子運(yùn)動(dòng)在磁場(chǎng)中縱向位移最大為$d=R-Rcosα=R×\frac{v-{v}_{0}}{v}=\frac{m}{Bq}（\sqrt{\frac{2qE{y}_{0}}{m}+{{v}_{0}}^{2}}-{v}_{0}）$=$\frac{m}{Bq}•\frac{2qE{y}_{0}}{m}\frac{1}{\sqrt{\frac{2qE{y}_{0}}{m}+{{v}_{0}}^{2}}+{v}_{0}}$；
當(dāng)v₀=0時(shí)，d有最大值，即$d=\frac{m}{Bq}•\sqrt{\frac{2qE{y}_{0}}{m}}=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mE{y}_{0}}{q}}$；
所以，磁場(chǎng)的最小寬度為$d=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mE{y}_{0}}{q}}$；
答：（1）粒子第一次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度的大小為$\sqrt{\frac{2qE{y}_{0}}{m}+{{v}_{0}}^{2}}$；
（2）若要使從y軸上（0，y₀）位置以大小不同的初速度沿x軸正方向射入電場(chǎng)的粒子都能經(jīng)磁場(chǎng)返回電場(chǎng)，則磁場(chǎng)的最小寬度為$\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mE{y}_{0}}{q}}$．

點(diǎn)評(píng) 求解帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)用幾何關(guān)系之前要根據(jù)左手定則判斷偏轉(zhuǎn)方向才能得到正確的幾何關(guān)系．