Question

19．一個質量為m₁的人造地球衛(wèi)星在高空做勻速圓周運動，軌道半徑為r．某時刻和一個質量為m₂的同軌道反向運動的太空碎片發(fā)生迎面正碰，碰后二者結合成一個整體，并開始沿橢圓軌道運動，軌道的遠地點為碰撞時的點．若碰后衛(wèi)星的內部裝置仍能有效運轉，當衛(wèi)星與碎片的整體再次經(jīng)過遠地點時，通過極短時間噴氣可使整體仍在衛(wèi)星碰前的軌道上做圓周運動，繞行方向與碰前相同．已知地球的半徑為R，地球表面的重力加速度大小為g，下列說法正確的是（　�。�

• A． 衛(wèi)星與碎片碰撞前的線速度大小為$\frac{{gR}^{2}}{r}$
• B． 衛(wèi)星與碎片碰撞前運行的周期大小為$\frac{2πr}{R}\sqrt{\frac{r}{g}}$
• C． 噴氣裝置對衛(wèi)星和碎片整體所做的功為$\frac{{{{2m}_{1}m}_{2}gR}^{2}}{{{（m}_{1}+m}_{2}）r}$
• D． 噴氣裝置對衛(wèi)星和碎片整體所做的功為$\frac{{{{m}_{1}m}_{2}gR}^{2}}{{{（m}_{1}+m}_{2}）r}$

Answer 1

分析 據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力，即可求出衛(wèi)星與碎片碰撞前的線速度大小與周期的大小；由動量守恒求出二者碰撞后的速度，由動能定理即可求出噴氣裝置對衛(wèi)星和碎片整體所做的功．

解答 解：A、衛(wèi)星圓周運動的向心力由萬有引力提供可得：$G\frac{{m}_{1}M}{{r}^{2}}={m}_{1}\frac{{v}^{2}}{r}$
又：m₁g=$\frac{GM{m}_{1}}{{R}^{2}}$
可得：v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$=$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{r}}$，故A錯誤；
B、據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力，有：$G\frac{mM}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$解得衛(wèi)星周期為：T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}$=$\frac{2πr}{R}\sqrt{\frac{r}{g}}$，故B正確；
CD、衛(wèi)星與碎片碰撞的過程中可以認為是動量守恒，取衛(wèi)星運動的方向為正方向，由動量守恒定律得：
（m₁-m₂）v=（m₁+m₂）v′
由動能定理可得，噴氣裝置對衛(wèi)星和碎片整體所做的功為：W=$\frac{1}{2}（{m}_{1}+{m}_{2}）{v}^{2}-\frac{1}{2}（{m}_{1}+{m}_{2}）{v′}^{2}$
聯(lián)立得：W=$\frac{{{{2m}_{1}m}_{2}gR}^{2}}{{{（m}_{1}+m}_{2}）r}$．故C正確，D錯誤．
故選：BC

點評 此題考查的知識點較多，要求熟練應用萬有引力定律和應用動能定理的能力，并且要求學生有很好的數(shù)學計算能力，難度相對較大．