Question

17．為了測量某未知天體表面的重力加速度，半徑和密度．宇航員駕駛一宇宙飛船貼其表面飛行，測得其周期為T．宇宙飛船著陸后，宇航員用彈簧測力計懸掛一質量為m的儀器并處于靜止狀態(tài)，測力計讀數(shù)為F．已知引力常量為G．求：
（1 ）未知天體表面的重力加速度
（2）未知天體的半徑
（3）未知天體的密度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)重力與質量的關系F=mg求解天體表面的重力加速度．
（2）宇宙飛船繞天體表面飛行時，由萬有引力提供向心力，據(jù)此列式求解天體的半徑．
（3）由質量與體積之比求天體的密度．

解答 解：（1）根據(jù)題意有：天體表面的重力加速度
   $g=\frac{F}{m}$…①
（2）設天體的質量為M，宇宙飛船的質量為m′．
對宇宙飛船有：$G\frac{Mm'}{R^2}=m'{（\frac{2π}{T}）^2}R$…②
在天體表面對一個質量為m₁的物體有：$G\frac{{M{m_1}}}{R^2}={m_1}g$…③
由①②③得 $R=\frac{{F{T^2}}}{{4{π^2}m}}$
（3）由①②③得$M=\frac{{{F^3}{T^4}}}{{16{π^4}{m^3}G}}$
$V=\frac{4}{3}π{R^3}$…④
M=ρV…⑤
得$ρ=\frac{3π}{{G{T^2}}}$
答：
（1）未知天體表面的重力加速度為$\frac{F}{m}$．
（2）未知天體的半徑是$\frac{F{T}^{2}}{4{π}^{2}m}$．
（3）未知天體的密度是$\frac{3π}{G{T}^{2}}$．

點評 解決本題的關鍵要掌握萬有引力等于向心力，以及重力等于萬有引力，知道貼近天體表面做勻速圓周運動時，軌道半徑可以認為就是天體半徑．