Question

20．如圖甲所示，xOy平面處于勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場中，電場強(qiáng)度E和磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t變化的圖象如圖乙所示，周期均為2t₀，y軸正方向?yàn)镋的正方向，垂直于紙面向里為B的正方向．t=0時(shí)刻，一質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O開始運(yùn)動(dòng)，此時(shí)速度大小為v₀，方向?yàn)?x軸方向．已知電場強(qiáng)度大小為E₀，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B₀=$\frac{πm}{q{t}_{0}}$，不計(jì)粒子所受重力．求：
（1）t₀時(shí)刻粒子的速度大小v₁及對(duì)應(yīng)的位置坐標(biāo)（x₁，y₁）；
（2）為使粒子第一次運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)軸時(shí)速度沿-x方向，B₀與E₀應(yīng)滿足的關(guān)系；
（3）t=4nt₀（n 為正整數(shù)）時(shí)刻粒子所在位置的橫坐標(biāo)x．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場中做類似平拋運(yùn)動(dòng)，采用正交分解法，根據(jù)分運(yùn)動(dòng)規(guī)律列式求解即可；
（2）使粒子第一次運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)軸時(shí)速度沿-x方向，則圓心在y軸上，結(jié)合幾何關(guān)系得到軌道半徑，然后根據(jù)牛頓第二定律列式求解；
（3）有電場時(shí)粒子做類似平拋運(yùn)動(dòng)，只有磁場時(shí)粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫出軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系列式分析．

解答 解：（1）在電場中運(yùn)動(dòng)，沿著x軸正方向有：x₁=v₀t₀，
沿著y軸正方向，有：v_y=at₀，y₁=$\frac{1}{2}a{t}_{0}^{2}$，
由牛頓第二定律，有：qE₀=ma，
運(yùn)動(dòng)的速度大小v₁=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$，
解得：v₁=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{{q}^{2}{E}_{0}^{2}{t}_{0}^{2}}{{m}^{2}}}$，粒子的位置坐標(biāo)為（v₀t₀，$\frac{{E}_{0}q{t}_{0}^{2}}{2m}$）；
（2）設(shè)粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，則：qv₁B₀=$\frac{4{π}^{2}m}{{T}^{2}}{r}_{1}$，
解得：T=2t₀；
則粒子第一次運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)軸前的軌跡如圖所示：

粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，有：qv₁B₀=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$，
圓心在y周期上，結(jié)合幾何關(guān)系得到：r₁sinθ=v₀t₀，
且v₁sinθ=v₀，
解得：$\frac{{E}_{0}}{{B}_{0}}={v}_{0}$；
（3）粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為2t₀，即在t₀～2t₀時(shí)間內(nèi)粒子轉(zhuǎn)了半圈，在x方向向左移動(dòng)△x，2t₀時(shí)刻速度大小仍為v₁，方向與t₀時(shí)刻速度方向相反，在2t₀～3t₀時(shí)間內(nèi)粒子做勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)對(duì)稱性可知，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡與0～t₀時(shí)間內(nèi)相同，3t₀時(shí)刻速度大小為v₀，方向沿著x軸負(fù)方向，在3t₀～4t₀時(shí)間內(nèi)粒子轉(zhuǎn)動(dòng)半圈，4t₀時(shí)刻速度大小為v₀，方向沿著x正方向，如圖所示；則0～4t₀時(shí)間內(nèi)粒子在x方向向左移動(dòng)的距離為△x；

$△x=2{r}_{1}sinθ=\frac{2{E}_{0}{t}_{0}}{{B}_{0}}$ 
則粒子的橫坐標(biāo)x=-n△x=-$\frac{2n{E}_{0}q{t}_{0}^{2}}{πm}$  （n=1，2，…）
答：（1）t₀時(shí)刻粒子的速度大小為$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{{q}^{2}{E}_{0}^{2}{t}_{0}^{2}}{{m}^{2}}}$，對(duì)應(yīng)的位置坐標(biāo)（v₀t₀，$\frac{{E}_{0}q{t}_{0}^{2}}{2m}$）；
（2）為使粒子第一次運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)軸時(shí)速度沿-x方向，B₀與E₀應(yīng)滿足的關(guān)系$\frac{{E}_{0}}{{B}_{0}}={v}_{0}$；
（3）t=4nt₀（n 為正整數(shù)）時(shí)刻粒子所在位置的橫坐標(biāo)x為-$\frac{2n{E}_{0}q{t}_{0}^{2}}{πm}$ （n=1，2，…）．

點(diǎn)評(píng) 本題是帶電粒子在復(fù)合場中運(yùn)動(dòng)的問題，分析粒子的受力情況，確定其運(yùn)動(dòng)情況，關(guān)鍵是運(yùn)用幾何知識(shí)求解坐標(biāo)．