Question

5．兩根電阻不計的足夠長平行光滑金屬導軌與水平面夾角為θ，導軌間距為l，正方形區(qū)域abcd內(nèi)存在垂直軌道平面向上的有界勻強磁場，磁場強度大小為B，如圖所示．現(xiàn)將阻值相等、質(zhì)量均為m的甲、乙金屬桿放置在導軌上，甲剛好處在磁場的上邊界，甲、乙相距l(xiāng)．在靜止釋放兩金屬桿的同時，給甲施加一個沿導軌的外力，使甲在運動過程中始終沿導軌向下做加速度大小為a=gsinθ勻加速直線運動，乙剛進入磁場時恰好做勻速運動．求：
（1）每根金屬桿的電阻R；
（2）從剛釋放金屬桿時開始計時，寫出外力F隨時間t的變化關(guān)系，并說明F的方向；
（3）若在整個過程中，乙金屬桿總共產(chǎn)生熱量Q，試求此過程中外力F對甲做的功．

Answer 1

分析 （1）甲、乙勻加速運動時加速度相同，當乙通過位移l進入磁場時，甲剛出磁場，由運動學速度位移公式求出乙進入磁場時的速度，乙金屬桿剛進入磁場時做勻速運動，根據(jù)平衡條件求解電阻R．
（2）從剛釋放金屬桿時開始計時，由于甲的加速度大小a=gsinθ，外力與安培力大小相等，由速度公式得出速度與時間的關(guān)系式，根據(jù)安培力的表達式得出外力與時間的關(guān)系式．
（3）從開始釋放兩桿到乙金屬桿離開磁場，乙進入磁場前，甲、乙發(fā)出相同熱量，導體棒克服安培力做功等于回路產(chǎn)生的熱量．甲出磁場以后，外力F為零，乙在磁場中，安培力大小等于重力沿斜面向下的分力，甲、乙發(fā)出相同熱量，根據(jù)功能關(guān)系得出回路產(chǎn)生的熱量，根據(jù)總熱量等于Q，求出外力做功．

解答 解：（1）因為甲、乙加速度相同，所以，當乙進入磁場時，甲剛出磁場．
乙進入磁場時的速度${v_乙}=\sqrt{2glsinθ}$，
根據(jù)平衡條件有$mgsinθ=\frac{{{B^2}{l^2}{v_乙}}}{2R}$
解得$R=\frac{{{B^2}{l^2}\sqrt{2glsinθ}}}{2mgsinθ}$
（2）甲在磁場中運動時，外力F始終等于安培力
$F={F_安}=\frac{{{B^2}{l^2}gsinθ•t}}{2R}$，
代入（1）問中R，得
$F=\frac{{mgsinθ\sqrt{2gsinθ}}}{2}•t$，方向沿導軌向下．
（3）乙進入磁場前，甲、乙發(fā)熱相同，設(shè)為Q₁，則有F_安l=2Q₁，又F=F_安，
故外力F對甲做的功W_F=Fl=2Q₁
甲處磁場以后，外力F為零，
乙在磁場中，甲、乙發(fā)熱相同，設(shè)為Q₂，則有$F_安^'l=2{Q_2}$，又$F_安^'=mgsinθ$Q=Q₁+Q₂
解得W_F=2Q-mglsinθ
答：
（1）每根金屬桿的電阻$R=\frac{{{B^2}{l^2}\sqrt{2glsinθ}}}{2mgsinθ}$．
（2）從剛釋放金屬桿時開始計時，從計時開始到甲金屬桿離開磁場的過程中外力F隨時間t的變化關(guān)系式為$F=\frac{{mgsinθ\sqrt{2gsinθ}}}{2}•t$，方向沿導軌向下．
（3）從開始釋放兩桿到乙金屬桿離開磁場，乙金屬桿共產(chǎn)生熱量Q，此過程中外力F對甲做的功為2Q-mglsinθ．

點評 本題審題時緊扣導體棒切割磁感線時加速度為a=gsinθ，外力與安培力大小相等，外力F對甲做的功等于導體棒克服安培力做功．