Question

【題目】我國(guó)將于2020年首次探測(cè)火星�；鹦桥c地球的環(huán)境非常相近，很有可能成為人類的第二個(gè)家園。已知火星的質(zhì)量為m，火星的半徑為R，太陽(yáng)質(zhì)量為M，且，萬有引力常量為G。太陽(yáng)、火星均可視為質(zhì)量分布均勻的球體。不考慮火星自轉(zhuǎn)。

（1）設(shè)想在火星表面以初速度v0豎直上拋一小球，求小球從拋出至落回拋出點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間t。

（2）為簡(jiǎn)化問題，研究太陽(yáng)與火星系統(tǒng)時(shí)可忽略其他星體的作用，只考慮兩者之間的引力作用。

a．通常我們認(rèn)為太陽(yáng)靜止不動(dòng)，火星繞太陽(yáng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。已知火星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r，請(qǐng)據(jù)此模型求火星的運(yùn)行周期T1。

b．事實(shí)上太陽(yáng)因火星的吸引不可能靜止，但二者并沒有因?yàn)橐�力相互靠近，而是保持間距r不變。請(qǐng)由此構(gòu)建一個(gè)太陽(yáng)與火星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)模型，據(jù)此模型求火星的運(yùn)行周期T2與T1的比值；并說明通常認(rèn)為太陽(yáng)靜止不動(dòng)的合理性。

Answer 1

【答案】（1）；（2）a.；b. .

【解析】

（1）設(shè)火星表面的重力加速度為g，則

①

火星表面質(zhì)量為m1的物體所受重力與萬有引力相等，有

②

聯(lián)立①②式可得

（2）a.對(duì)火星，萬有引力提供向心力，有

可得

③

b.太陽(yáng)與火星構(gòu)成“雙星”模型，即二者都圍繞它們連線上的某一定點(diǎn)O做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。設(shè)火星的運(yùn)行半徑為r1，太陽(yáng)的運(yùn)行半徑為r2。

對(duì)火星有

④

對(duì)太陽(yáng)有

⑤

r1+r2=r ⑥

聯(lián)立③④⑤⑥式可得

⑦

聯(lián)立④⑤⑥式可得

⑧

一方面，因，由⑦式得，可見運(yùn)行周期幾乎相等：另一方面，由⑧式得r2≈0，即太陽(yáng)幾乎與定點(diǎn)O位置重合，所以通常認(rèn)為太陽(yáng)靜止不動(dòng)是合理的。