Question

9．如圖所示光滑管形圓軌道半徑為R（管徑遠(yuǎn)小于R），小球a、b大小相同，質(zhì)量相同，均為m，其直徑略小于管徑，能在管中無摩擦運(yùn)動兩球先后以相同速度v通過軌道最低點(diǎn)，且當(dāng)小球a在最低點(diǎn)時(shí)，小球b在最高點(diǎn)，以下說法正確的是（　�。�

• A． 當(dāng)v=$\sqrt{5gR}$時(shí)，小球b在軌道最高點(diǎn)對軌道無壓力
• B． 當(dāng)小球b在最高點(diǎn)對軌道無壓力時(shí)，小球a比小球b所需向心力大5mg
• C． 速度v至少為$\sqrt{5gR}$，才能使兩球在管內(nèi)做圓周運(yùn)動
• D． 只要v≥$\sqrt{5gR}$，小球a對軌道最低點(diǎn)壓力比小球b對軌道最高點(diǎn)壓力都大6mg

Answer 1

分析 根據(jù)小球的速度，抓住徑向的合力提供向心力求出小球在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)所受的彈力，從而得出在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的壓力差；根據(jù)最高點(diǎn)的最小速度，通過動能定理求出小球在最低點(diǎn)的最小速度．

解答 解：A、當(dāng)小球b在軌道最高點(diǎn)對軌道無壓力，根據(jù)牛頓第二定律得，mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，解得v=$\sqrt{gR}$．根據(jù)動能定理得mg2R=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv′²，解得v=$\sqrt{5gR}$．故A正確．
B、小球b通過最高點(diǎn)無壓力時(shí)，速度v=$\sqrt{gR}$，設(shè)小球a在最低點(diǎn)的速度為v′，根據(jù)動能定理知，mg•2R=$\frac{1}{2}$mv′²-$\frac{1}{2}$mv²，解得v′=$\sqrt{5gR}$．
所以小球a在最低點(diǎn)的向心力為Fn=m$\frac{v{′}^{2}}{R}$=5mg，b球在最高點(diǎn)的向心力Fn′=m$\frac{{v}^{2}}{R}$=mg，小球a比小球b所需的向心力大4mg．故B錯(cuò)誤．
C、小球通過最高點(diǎn)的最小速度為零，根據(jù)動能定理得，mg•2R=$\frac{1}{2}$mv2-0，解得最小速度v=$\sqrt{4gR}$．故C錯(cuò)誤．
D、v≥$\sqrt{5gR}$時(shí)，最高點(diǎn)的速度大于等于$\sqrt{gR}$，則小球在最高點(diǎn)受到向下的彈力，設(shè)小球在最高點(diǎn)的速度為v₁，最低點(diǎn)的速度為v₂，根據(jù)牛頓第二定律得，
最高點(diǎn)F₁+mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$，最低點(diǎn)F₂-mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$，則壓力差△F=F₂-F₁=2mg+m（$\frac{{v}_{2}^{2}-{v}_{1}^{2}}{R}$），又mg•2R=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$mv₁²，解得△F=6mg．故D正確．
故選：AD．

點(diǎn)評 本題考查牛頓第二定律和動能定理的綜合，知道圓周運(yùn)動向心力的來源，以及小球通過最高點(diǎn)的臨界情況是解決本題的關(guān)鍵．本題中應(yīng)注意與桿模型類似．