Question

【題目】如圖所示，半徑為R的半球形陶罐，固定在可以繞豎直軸旋轉(zhuǎn)的水平轉(zhuǎn)臺(tái)上，轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)軸與過(guò)陶罐球心O的對(duì)稱軸OO/重合，轉(zhuǎn)臺(tái)以一定角速度ω勻速旋轉(zhuǎn)，一質(zhì)量為m的小物塊落入陶罐內(nèi)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，小物塊隨陶罐一起轉(zhuǎn)動(dòng)且相對(duì)罐壁靜止，它和O點(diǎn)的連線與OO/之間的夾角θ為45°。已知重力加速度大小為g，小物塊與陶罐之間的最大靜摩擦力大小為不變。（結(jié)果可用根式表示）

（1）若小物塊受到的摩擦力恰好為零，求此時(shí)的角速度ω0；

（2）若小物塊一直相對(duì)陶罐靜止，求陶罐旋轉(zhuǎn)的角速度的范圍。

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

試題分析：1）當(dāng)摩擦力為零，支持力和重力的合力提供向心力，有：mgtanθ＝mRsinθω02，

解得：

（2）當(dāng)ω＞ω0時(shí)，重力和支持力的合力不夠提供向心力，當(dāng)角速度最大時(shí)，摩擦力方向沿罐壁切線向下達(dá)最大值，設(shè)此最大角速度為ω1，由牛頓第二定律得，fcosθ+FNsinθ＝mRsinθω12

fsinθ+mg=FNcosθ

聯(lián)立以上三式解得：

當(dāng)ω＜ω0時(shí)，重力和支持力的合力大于所需向心力，摩擦力方向沿罐壁切線向上，當(dāng)角速度最小時(shí)，摩擦力向上達(dá)到最大值，設(shè)此最小角速度為ω2

由牛頓第二定律得，FNsinθfcosθ＝mRsinθω22，

mg=FNcosθ+fsinθ，

聯(lián)立解得：

故陶罐旋轉(zhuǎn)的角速度的范圍