Question

物體做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，所需的向心力F_需由運(yùn)動(dòng)情況決定，提供的向心力F_供由受力情況決定．若某時(shí)刻F_需=F_供，則物體能做圓周運(yùn)動(dòng)；若F_需＞F_供，物體將做離心運(yùn)動(dòng)；若F_需＜F_供，物體將做向心運(yùn)動(dòng)．現(xiàn)有一根長(zhǎng)L=1m的不計(jì)伸長(zhǎng)的輕繩，其一端固定于O點(diǎn)，另一端系著質(zhì)量m=0.5kg的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），將小球提至正上方的A 點(diǎn)處，此時(shí)繩剛好伸直且無張力，如圖所示．不計(jì)空氣阻力，g取10m/s²，則：
（1）為使小球能在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，在A點(diǎn)至少應(yīng)施加給小球多大的水平速度？
（2）若將小球以速度v₁=5m/s水平拋出的瞬間，繩中的張力為多大？
（3）若將小球以速度v₂=3m/s水平拋出的瞬間，繩中若有張力，求其大小？若無張力，試求從拋出小球到繩子再次伸直時(shí)所經(jīng)歷的時(shí)間？

Answer 1

分析：（1）小球在豎直面內(nèi)能夠做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)時(shí)至少應(yīng)該是重力作為所需要的向心力，由重力作為向心力可以求得最小的速度；
（2）根據(jù)第一問的判斷可以知道v₁＞V₀，故繩中有張力，由向心力的公式可以求得繩的拉力的大��；
（3）由于v₂＜V₀，故繩中沒有張力，小球?qū)⒆銎綊佭\(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可以求得運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

解答：解：（1）在最高點(diǎn)，當(dāng)重力提供向心力時(shí)，速度最小，則有：mg=m

v02

L

解得：v0=

gL

=

10×1

=

10

m/s  
（2）因?yàn)関₁＞v₀，故繩中有張力
根據(jù)牛頓第二定律，有：T+mg=m

v12

L

代入數(shù)據(jù)解得，繩中張力為：T=0.5×

25

1

-5=7.5N    
（3）因?yàn)関₂＜v₀，故繩中無張力，小球?qū)⒆銎綊佭\(yùn)動(dòng)
如圖：L²=（y-L）²+x²
x=v₂t
y=

1

2

gt2…
解得：t=

2

g

gL-v22

=

2

10

10×1-9

=0.2s  
答：（1）為使小球能在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，在A點(diǎn)至少應(yīng)施加給小球多大的水平速度為

10

m/s；
（2）若將小球以速度v₁=5m/s水平拋出的瞬間，繩中的張力為7.5N；
（3）若將小球以速度v₂=3m/s水平拋出的瞬間，繩中無張力，從拋出小球到繩子再次伸直時(shí)所經(jīng)歷的時(shí)間為0.2s．

點(diǎn)評(píng)：要使小球在豎直面內(nèi)能夠做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)時(shí)至少應(yīng)該是重力作為所需要的向心力，這是本題中的一個(gè)臨界條件，與此時(shí)的物體的速度相對(duì)比，可以判斷物體能否做圓周運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而再根據(jù)不同的運(yùn)動(dòng)的規(guī)律來分析解決問題，本題能夠很好地考查學(xué)生的分析解決問題的能力，是道好題．