Question

20．水平粗糙直軌道ab與半徑為R的豎直半圓形光滑軌道bc平滑相接于b點(diǎn)，一質(zhì)量為m的小滑塊以初速度v₀從a點(diǎn)開始，沿軌道ab向右運(yùn)動(dòng)，如圖所示，小滑塊進(jìn)入半圓形軌道后剛好能通過最高點(diǎn)c，并落到水平地面上d點(diǎn)（不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g）
（1）求bd兩點(diǎn)之間的距離x；
（2）球小滑塊經(jīng)過半圓形軌道b點(diǎn)處時(shí)對(duì)軌道的壓力F的大�。�
（3）若小滑塊質(zhì)量變?yōu)?m，依然從a點(diǎn)出發(fā)，剛好能通過最高點(diǎn)c，則初速度v為多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律，抓住C點(diǎn)彈力為零，靠重力提供向心力，求出小球到達(dá)c點(diǎn)的速度．根據(jù)高度，結(jié)合位移司機(jī)公式求出平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．根據(jù)初速度和時(shí)間求出平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移．
（2）根據(jù)機(jī)械能守恒求出小滑塊在b點(diǎn)的速度，然后由牛頓第二定律即可求出；
（3）a到c的過程中重力和摩擦力做功，由動(dòng)能定理即可求出．

解答 解：（1）由小滑塊開始時(shí)能夠經(jīng)過最高點(diǎn)可得：mg=$m\frac{{{v}_{c}}^{2}}{R}$，解得：v_c=$\sqrt{gR}$，
又根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的公式：x=v_ct； 2R=$\frac{1}{2}$gt²
代入數(shù)據(jù)解得：x=2R
（2）小滑塊從b點(diǎn)到c點(diǎn)由動(dòng)能定理：$-2mgR=\frac{1}{2}m{v}_{c}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_^{2}$
小滑塊在b點(diǎn)處時(shí)，由牛頓第二定律可得：$F′-mg=\frac{m{v}_^{2}}{R}$，
代入數(shù)據(jù)解得：F′=6mg
由牛頓第三定律可知，下滑塊對(duì)軌道的壓力為F=6mg
（3）設(shè)ab段長(zhǎng)度為L(zhǎng)，小滑塊與軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，則當(dāng)質(zhì)量為m時(shí)：$-μmgL-2mgR=\frac{1}{2}m{v}_{c}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
在L和μ確定的前提下，該方程的成立與小滑塊的質(zhì)量無關(guān)，當(dāng)質(zhì)量變?yōu)?m時(shí)，初速度依然為v₀，即v=v₀．
答：（1）bd兩點(diǎn)之間的距離是2R；
（2）球小滑塊經(jīng)過半圓形軌道b點(diǎn)處時(shí)對(duì)軌道的壓力F的大小是6mg．
（3）若小滑塊質(zhì)量變?yōu)?m，依然從a點(diǎn)出發(fā)，剛好能通過最高點(diǎn)c，則初速度v仍然是v₀．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平拋運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)的綜合運(yùn)用，知道平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，以及圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來源是解決本題的關(guān)鍵．