Question

如圖所示，A、B兩小球用輕桿連接，A球只能沿內(nèi)壁光滑的豎直滑槽運動，B球處于光滑水平面內(nèi)．開始時桿豎直，A、B兩球靜止．由于微小的擾動，B開始沿水平面向右運動．已知A球的質(zhì)量為m_A，B球的質(zhì)量為m_B，桿長為L．則：
（1）A球著地時的速度為多大？
（2）A球機械能最小時，水平面對B球的支持力為多大？
（3）若m_A=m_B，當A球機械能最小時，桿與豎直方向夾角的余弦值為多大？

Answer 1

分析：（1）A球著地時，B球的速度為0，系統(tǒng)機械能守恒，根據(jù)機械能守恒定律列式即可求解；
（2）當A球機械能最小時，B球的速度最大，此時B球的加速度為0，對B球受力分析即可求解；
（3）設桿與豎直方向間夾角為θ，B球的速度為v_B，此時A球的速度為v_A，根據(jù)動能定理列式，而v_A和v_B沿桿方向上分速度大小相等，聯(lián)立方程求出v_B的表達式，再利用數(shù)學知識求解最小值，即可求解．

解答：解：（1）A球著地時，B球的速度為0．
設此時A球速度為v，由系統(tǒng)機械能守恒得m_AgL=

1

2

m_Av²，解得  v=

2gL

（2）當A球機械能最小時，B球的速度最大，此時B球的加速度為0，則桿對球的作用力為0
設小球受到的支持力為N，對B球受力分析可得   N=m_Bg
（3）設桿與豎直方向間夾角為θ，B球的速度為v_B，此時A球的速度為v_A，則
m_AgL（1-cosθ）=

1

2

m_A

v

2 A

+

1

2

m_B

v

2 B

且v_A和v_B沿桿方向上分速度大小相等，即 v_Acosθ=v_Bsinθ
聯(lián)立解得  v_B=

2gL(1-cosθ)cos2θ

 
令y=（1-cosθ）cos²θ，當y的導數(shù)y?=0時，A球機械能最小，v_B達最大值，即
sinθcos²θ-2（1-cosθ）cosθsinθ=0
解得cosθ=

2

3

答：（1）A球著地時的速度為

2gL

；
（2）A球機械能最小時，水平面對B球的支持力為m_Bg；
（3）若m_A=m_B，當A球機械能最小時，桿與豎直方向夾角的余弦值為

2

3

．

點評：本題關鍵分析清楚物體B的運動情況，然后結(jié)合機械能守恒定律和運動關系并結(jié)合數(shù)學知識分析，難度適中．