Question

13．如圖所示，在距水平地面高h(yuǎn)1=1.2m的光滑水平臺(tái)面上，一個(gè)質(zhì)量m=1kg的小物塊壓縮彈簧后被鎖扣K鎖住，儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能Ep=2J．現(xiàn)打開鎖扣K，物塊與彈簧分離后將以一定的水平速度向右滑離平臺(tái)，并恰好從B點(diǎn)沿切線方向進(jìn)入光滑豎直的圓弧軌道BC．已知B點(diǎn)距水平地面的高h(yuǎn)2=0.6m，圓弧軌道BC的圓心O，C點(diǎn)的切線水平，并與水平地面上長(zhǎng)為L(zhǎng)=2.8m的粗糙直軌道CD平滑連接，小物塊沿軌道BCD運(yùn)動(dòng)并與右邊的豎直墻壁會(huì)發(fā)生碰撞，重力加速度g=10m/s²，空氣阻力忽略不計(jì)．試求：
（1）小物塊運(yùn)動(dòng)到B的瞬時(shí)速度v_B大小及與水平方向夾角θ；
（2）小物塊在圓弧軌道BC上滑到C時(shí)對(duì)軌道壓力Nc大�。�
（3）若小物塊與墻壁碰撞后速度反向、大小變?yōu)榕銮暗囊话耄�且只�?huì)發(fā)生一次碰撞，那么小物塊與軌道CD之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ應(yīng)該滿足怎樣的條件．

Answer 1

分析 （1）小球做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)機(jī)械能守恒定律列式求解小物塊運(yùn)動(dòng)到B的瞬時(shí)速度v_B大小，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法求解速度與水平方向的夾角；
（2）先根據(jù)能量關(guān)系列式求解C點(diǎn)的速度，在C點(diǎn)，支持力和重力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律、第三定律列式求解；
（3）分μ取得最大值和最小值討論，根據(jù)能量守恒列出能量等式解決問題．要考慮物塊可能的滑過的路程．

解答 解：（1）解法一：
小物塊由A運(yùn)動(dòng)到B的過程中做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)初速度為v₀．
由機(jī)械能守恒得
 E_P=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{0}^{2}$，v₀=2m/s
 E_P+mg（h₁-h₂）=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{B}^{2}$，v_B=4m/s（2分）
根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律有：cosθ=$\frac{{v}_{0}}{{v}_{B}}$=$\frac{2}{4}$=0.5，θ=60°
解法二：
小物塊由A運(yùn)動(dòng)到B的過程中做平拋運(yùn)動(dòng)，機(jī)械能守恒
 E_P=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{0}^{2}$，v₀=2m/s
小物塊由A運(yùn)動(dòng)到B的過程中做平拋運(yùn)動(dòng)，在豎直方向上根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知，
小物塊由A運(yùn)動(dòng)到B的時(shí)間為：
t=$\sqrt{\frac{2（{h}_{1}-{h}_{2}）}{g}}$=$\frac{\sqrt{3}}{5}$s≈0.346s                     
根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律有：
tanθ=$\frac{gt}{{v}_{0}}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，解得：θ=60°          
v_B=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+（gt）^{2}}$=4m/s
（2）根據(jù)圖中幾何關(guān)系可知，
 h₂=R（1-cos∠BOC），解得：R=1.2m            
根據(jù)能的轉(zhuǎn)化與守恒可知，
  E_P+mgh₁=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{C}^{2}$，vc=2$\sqrt{7}$m/s
對(duì)小球在圓弧軌道C點(diǎn)應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律
N_c-mg=$\frac{m{v}_{c}^{2}}{R}$
得 N_c=10+$\frac{28}{1.2}$=33.3N
（3）依據(jù)題意知，
①μ的最大值對(duì)應(yīng)的是物塊撞墻前瞬間的速度趨于零，根據(jù)能量關(guān)系有：
 mgh₁+E_p＞μmgL
代入數(shù)據(jù)解得：μ＜$\frac{1}{2}$
②對(duì)于μ的最小值求解，首先應(yīng)判斷物塊第一次碰墻后反彈，能否沿圓軌道滑離B點(diǎn)，設(shè)物塊碰前在D處的速度為v₂，由能量關(guān)系有：
  mgh₁+E_p=μmgL+$\frac{1}{2}$mv₂²
第一次碰墻后返回至C處的動(dòng)能為：E_kC=$\frac{1}{8}$mv₂²-μmgL
可知即使μ=0，有：$\frac{1}{2}$mv₂²=14J，$\frac{1}{8}$mv₂²=3.5J＜mgh₂=6J，小物塊不可能返滑至B點(diǎn)
故μ的最小值對(duì)應(yīng)著物塊撞后回到圓軌道最高某處，又下滑經(jīng)C恰好至D點(diǎn)停止，因此有：
 $\frac{1}{8}$mv₂²≤2μmgL，聯(lián)立解得：μ≥$\frac{1}{18}$
綜上可知滿足題目條件的動(dòng)摩擦因數(shù)μ值：$\frac{1}{18}$≤μ＜$\frac{1}{2}$
答：（1）小物塊運(yùn)動(dòng)到B的瞬時(shí)速度v_B大小是4m/s，方向與水平方向夾角θ為60°．
（2）小物塊在圓弧軌道BC上滑到C時(shí)對(duì)軌道壓力N_c大小是33.3N．
（3）小物塊與軌道CD之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ應(yīng)該滿足的條件為 $\frac{1}{18}≤μ≤\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于復(fù)雜的力學(xué)問題，應(yīng)該先清楚研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)過程，根據(jù)運(yùn)動(dòng)性質(zhì)利用物理規(guī)律解決問題；關(guān)于能量守恒的應(yīng)用，要清楚物體運(yùn)動(dòng)過程中能量的轉(zhuǎn)化．