Question

12．勁度系數(shù)為k的輕彈簧，豎直放置在地面上，其上端固定有質(zhì)量為M的鋼板，處于靜止?fàn)顟B(tài)，如圖所示，現(xiàn)有一質(zhì)量為m的小球從距鋼板H的高處自由下落并與之發(fā)生碰撞，碰撞中無(wú)機(jī)械能損失．已知M=3m，彈簧振子的周期T=2π$\sqrt{\frac{M}{k}}$．
（1）求小球與鋼板第一次碰撞后，小球的速度v₁和鋼板的速度v₂．
（2）要使小球與鋼板每次都在同一高度相碰（即鋼板的初始位置），求鋼板質(zhì)量的最大值．
（3）以小球自由下落的瞬間為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，以向下為正方向，畫(huà)出小球的v-t圖線（要求至少畫(huà)出小球與鋼板發(fā)生第三次碰撞前的圖線，寫(xiě)出畫(huà)圖的依據(jù)）．

Answer 1

分析 （1）小球碰前做自由落體運(yùn)動(dòng)，碰撞過(guò)程系統(tǒng)動(dòng)量和機(jī)械能均守恒，根據(jù)守恒定律列式后聯(lián)立求解即可；
（2）要使小球與鋼板每次都在同一高度相碰，則小球返回時(shí)間為鋼板簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)半周期的奇數(shù)倍，根據(jù)等時(shí)性列式后聯(lián)立求解；
（3）根據(jù)動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律聯(lián)立求解出第二次碰撞后小球和鋼板的速度，同理再求解第二次碰撞后小球和鋼板的速度，…，最后做v-t圖象

解答 解：（1）設(shè)小球落至鋼板時(shí)速度為v₀，由機(jī)械能守恒定律得：mgH=$\frac{1}{2}$mv₀²…①
碰撞過(guò)程中動(dòng)量守恒，以向下為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：mv₀=mv₁+Mv₂…②
機(jī)械能無(wú)損失，由機(jī)械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$Mv₂²=$\frac{1}{2}$mv₀²…③
聯(lián)立①②③式得，v₁=-$\frac{1}{2}$v₀，負(fù)號(hào)表示方向向上，v₂=$\frac{1}{2}$v₀，方向豎直向下．
（2）由（1）可知，碰撞后小球做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，鋼板以$\frac{1}{2}$v₀（連同彈簧）向下做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，
要使m與M第二次碰撞仍發(fā)生在原位置，則必有小球重新落回到O處所用的時(shí)間t恰好對(duì)應(yīng)，
t=nT+$\frac{1}{2}$T，而當(dāng)M取最大值時(shí)，必有t=$\frac{1}{2}$T，
即t=$\frac{{v}_{0}}{g}$=$\sqrt{\frac{2H}{g}}$=π$\sqrt{\frac{M}{k}}$，
解得：M=$\frac{2kH}{g{π}^{2}}$．
（3）小球與鋼板的第二次碰撞動(dòng)量守恒，以向下為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：
m•$\frac{1}{2}$v₀-M•$\frac{1}{2}$v₀=mv₃+Mv₄，
由機(jī)械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}$m（$\frac{1}{2}$v₀）²+$\frac{1}{2}$M（$\frac{1}{2}$v₀）²=$\frac{1}{2}$mv₃²+$\frac{1}{2}$Mv₄²，
解得：v₃=-v₀，方向豎直向上，v₄=0，當(dāng)小球再次落回與鋼板發(fā)生第三次碰撞時(shí)，
第三次碰撞是第一次碰撞的重復(fù)，此后過(guò)程將周而復(fù)始地進(jìn)行，小球的v-t圖線如圖所示．
答：（1）小球與鋼板第一次碰撞后，小球的速度v₁大小為$\frac{1}{2}$v₀，方向：豎直向上，鋼板的速度v₂大小為$\frac{1}{2}$v₀，方向：豎直向下．
（2）鋼板質(zhì)量的最大值為：$\frac{2kH}{g{π}^{2}}$．
（3）小球的v-t圖線如圖所示．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵明確小球和鋼板的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律多次列式后聯(lián)立求解，第二問(wèn)找出臨界情況是關(guān)鍵，第三問(wèn)找出重復(fù)性是關(guān)鍵．