Question

19．如圖所示，一根有一定電阻的直導(dǎo)體棒質(zhì)量為m、長(zhǎng)為L(zhǎng)，其兩端放在位于水平面內(nèi)間距也為L(zhǎng)的光滑平行導(dǎo)軌上，并與之接觸良好；棒左側(cè)兩導(dǎo)軌之間連接一可控電阻；導(dǎo)軌置于勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于導(dǎo)軌所在平面．t=0時(shí)刻，給導(dǎo)體棒一個(gè)平行于導(dǎo)軌的初速度，此時(shí)可控電阻的阻值為R₀．在棒運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，通過(guò)可控電阻的變化使棒中的電流強(qiáng)度保持恒定．不計(jì)導(dǎo)軌電阻，導(dǎo)體棒一直在磁場(chǎng)中
（1）求可控電阻R隨時(shí)間t變化的關(guān)系式；
（2）若已知棒中電流強(qiáng)度為I，求0～t時(shí)間內(nèi)可控電阻上消耗的平均功率P；
（3）若在棒的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中將題中的可控電阻改為阻值為R₀的定值電阻，則棒將減速運(yùn)動(dòng)位移x₁后停下，而由題中條件，棒將運(yùn)動(dòng)位移x₂后停下，求$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$的值．

Answer 1

分析 （1）使棒中的電流強(qiáng)度保持恒定，結(jié)合歐姆定律知I=$\frac{E}{{R}_{棒}+R}$為定值，由于棒做勻減速運(yùn)動(dòng)，故感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)隨時(shí)間減小，由此的到R隨時(shí)間的變化關(guān)系；
（2）電阻隨時(shí)間均勻減小，故電阻的功率可用平均功率等效代替，P=${I}^{2}\frac{R{+R}_{0}}{2}$；
（3）根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式與牛頓第二定律，結(jié)合電磁感應(yīng)定律與閉合電路歐姆定律，即可求解．

解答 解：（1）因棒中的電流強(qiáng)度保持恒定，故棒做勻減速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)棒的電阻為r，電流為I，其初速度為v₀，加速度大小為a，經(jīng)時(shí)間t后，棒的速度變?yōu)関，
則有：v=v₀-at
而a=$\frac{BIL}{m}$
t=0時(shí)刻棒中電流為：$I=\frac{{BL{v_0}}}{{{R_0}+r}}$
經(jīng)時(shí)間t后棒中電流為：$I=\frac{BLv}{R+r}$
由以上各式得：R=${R}_{0}-\frac{{{B}^{2}{L}^{2}}}{m}t$
（2）因可控電阻R隨時(shí)間t均勻減小，故所求功率為：P=${I}^{2}×\frac{R{+R}_{0}}{2}$
由以上各式得：P=${I}^{2}（{R}_{0}-\frac{{{B}^{2}{L}^{2}t}}{2m}）$                         
（3）將可控電阻改為定值電阻R₀，棒將變減速運(yùn)動(dòng)．
有：${v}_{0}=\overline{a}t′$
$\overline{a}=\frac{B\overline{I}L}{m}$
而$\overline{I}t′=\frac{\overline{E}}{{R}_{0}+r}t′$
$\overline{E}=\frac{△∅}{t′}=\frac{B{Lx}_{1}}{t′}$
由以上各式得：${x_1}=\frac{{m{v_0}（{R_0}+r）}}{{{B^2}{L^2}}}$
而${x_2}=\frac{{v_{_0}^2}}{2a}$
由以上各式得${x_2}=\frac{{m{v_0}（{R_0}+r）}}{{2{B^2}{L^2}}}$
所求$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{2}{1}$
答：（1）求可控電阻R隨時(shí)間t變化的關(guān)系式為：R=${R}_{0}-\frac{{{B}^{2}{L}^{2}}}{m}t$；
（2）若已知棒中電流強(qiáng)度為I，求0～t時(shí)間內(nèi)可控電阻上消耗的平均功率P為${I}^{2}（{R}_{0}-\frac{{{B}^{2}{L}^{2}t}}{2m}）$；
（3）$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$的值為2：1．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道分析導(dǎo)體棒受力情況，應(yīng)用閉合電路歐姆定律和牛頓第二定律求解，注意對(duì)于線(xiàn)性變化的物理量求平均的思路，本題中先后用到平均電動(dòng)勢(shì)、平均電阻和平均加速度．