Question

神奇的黑洞是近代引力理論所預(yù)言的一種特殊天體，探小黑洞的方案之一是觀測(cè)雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。天文學(xué)家觀測(cè)河外星系大麥哲倫云時(shí)，發(fā)現(xiàn)了LMCX-3雙星系統(tǒng)。它由可見(jiàn)星A和不可見(jiàn)的暗星B構(gòu)成。兩星視為質(zhì)點(diǎn)，不考慮其它天體的影響，A、B圍繞兩者連線(xiàn)上的O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們之間的距離保持不變，如圖所示。引力常量為G，由觀測(cè)能夠得到可見(jiàn)星A的速率v和運(yùn)行周期T。

(1)可見(jiàn)星A所受暗星B的引力F_A可等效為位于O點(diǎn)處質(zhì)量為m′的星體(視為質(zhì)點(diǎn))對(duì)它的引力。設(shè)A和B的質(zhì)量分別為m₁、m₂。試求m′(用m₁、m₂表示)；

(2)求暗星B的質(zhì)量m₂與可見(jiàn)星A的速率v,運(yùn)行周期T和質(zhì)量m₁之間的關(guān)系式；

(3)恒星演化到末期。如果其質(zhì)量大于太陽(yáng)質(zhì)量m_s的2倍，它將有可能成為黑洞。若可見(jiàn)星A的速率v=2.7×10³ m/s。運(yùn)行周期T=4.7π×10⁴ s。質(zhì)量m₁=6m_s。試通過(guò)估算來(lái)判斷暗星B有可能是黑洞嗎?

(G=6.67×10^-11 N·m₂/kg₂，m_s=2.0×10³⁰ kg)

Answer 1

(1)m′=

(2)=   (3)有可能

解析：(1)設(shè)A、B的圓軌道半徑分別為r₁、r₂。由題意知，A、B做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度相同。設(shè)其為ω。由牛頓運(yùn)動(dòng)定律，有

F_a=m₁ω²r₁

F_b=m₂ω²r₂

F_a=F_B

設(shè)A、B之間的距離為r,又r=r₁+r₂。由上述各式得

r=                            ①

由萬(wàn)有引力定律。有

F_a=G

將①代入得

F_a=G

令F_a=G

比較可得：m′=            ②

(2)由牛頓第二定律，有

G=                          ③

又可見(jiàn)星A的軌道半徑

r₁=                              ④

由②③④式解得

=                 ⑤

(3)將m₁=6m_s代入⑤式，得

=

代入數(shù)據(jù)得

=3.5m_s              ⑥

設(shè)m₂=nm_s(n＞0)，將其代入⑥式，得

=m_s=3.5m_s    ⑦

可見(jiàn)，的值隨n的增大而增大，試令n=2，得

m_s=0.125m_s＜3.5m_s         ⑧

若使⑦式成立，則n必大于2，即暗星B的質(zhì)量m₂必大于2m_s。結(jié)論：暗星B有可能是黑洞。